Аналитический вывод формулы пересечения двух отрезков

Авторы: Котов А.В.

Разбирая как-то на днях свои бумажные записи, я наткнулся на вывод аналитического выражения для определения радиус-вектора точки пересечения двух отрезков. Данную итоговую формулу я представил в своей работе «Аналитический способ определения особых точек при исследовании плоских рычажных механизмов сложной структуры» на МНТК в 2025 году.

Задача решалась в рамках необходимости проведения силового анализа плоских рычажных механизмов сложной структуры с помощью особых точек (точек Ассура). Вывод формулы тогда в моей статье, ввиду ограничения по объему работы, не приводился. И я, честно говоря, уже забыл о ней.

Но вот, освежив немного память и разобрав записи, я решил выложить этот вывод у себя на блоге, чтобы он остался навсегда и не затерялся в стопке залежавшихся бумаг на полке.

Расчетная схема к выводу аналитической формулы для нахождения точки пересечения двух отрезков приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Расчетная схема для нахождения точки пересечения

Для вывода аналитического выражения нам понадобятся две формы записи уравнений прямой из аналитической геометрии.

Запишем векторное уравнение для двух прямых: первая проходит через т. A, вторая – через т. C:

где t1 – координата точки S на прямой AS в системе координат с началом в т. A и направляющим вектором u1; t2 – координата точки S на прямой СS в системе координат с началом в т. С и направляющим вектором u2.

Кроме того, любой радиус-вектор точки на плоскости можно разложить по двум известным векторам:

где α1, α2 – координаты т. S в базисе направляющих векторов u1 и u2.

Перейдем к непосредственному выводу интересующего нас выражения. Рассмотрим выражение (3) и умножим его левую и правую часть векторно сначала на вектор u1, а затем на вектор u2:

Используя известное свойство антикоммутативности векторного произведения [u1, u1]=0 и [u2, u2]=0 выражения (4) можно представить в следующем виде:

Откуда выражаем неизвестные коэффициенты:

Подставим эти коэффициенты в исходное уравнение (3):

После ряда математических преобразований, приведем выражение (5) к общему знаменателю:

Теперь рассмотрим выражения (1) и (2). Умножим левую и правую части (1) векторно на u1, а в выражение (2) – на u2. В результате получим:

После преобразований:

Подставим (7) в выражение (6), исключив тем самым из правой части неизвестный радиус-вектор rS:

Согласно принятой расчетной схеме (см. рисунок 1):

Подставим (9) в (8) и выполним ряд математических преобразований:

Полученное окончательное выражение (10) может быть использовано для нахождения точки пересечения двух отрезков, каждый из которых задан двумя радиус-векторами точек.

Отметим, что используя свойство коммутативности скалярного произведения и антикоммутативности векторного произведения, выражение (10) может иметь различные формы представления. Однако предложенный вариант является наиболее компактным и удобным для программной реализации.

Данная формула успешно применялась мной при проведении силового анализа плоских рычажных механизмов сложной структуры и показала высокую эффективность и точность расчетов.

Если у вас есть вопросы или вы можете предложить другие способы вывода этой формулы – добро пожаловать в комментарии!

Любое цитирование текста, использование тезисов или иллюстраций из данной статьи допускается только с указанием обязательной ссылки на первоисточник. Пожалуйста, уважайте авторские права и интеллектуальную собственность.

Для цитирования данной работы | To cite this work:

Котов, А. В. Аналитический вывод формулы пересечения двух отрезков / А. В. Котов // Vectormethod.blogspot.com [Электронный ресурс]. – 2020. – Режим доступа: https://vectormethod.blogspot.com/2026/07/analiticheskij-vyvod-formuly-peresecheniya-dvuh-otrezkov.html. – Дата доступа: .

Kotov A. V. Analiticheskiy vyvod formuly peresecheniya dvukh otrezkov [Analytical derivation of the formula for the intersection of two segments]. Vectormethod.blogspot.com [Electronic resource]. – 2020. – Mode of access: https://vectormethod.blogspot.com/2026/07/analiticheskij-vyvod-formuly-peresecheniya-dvuh-otrezkov.html. – Date of access: (in Russ.).