Оценка возможности применения метода деформируемого многогранника к задаче оптимизационного кинематического синтеза плоского рычажного механизма

Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Введение. В современном машиностроении широкое применение нашли четырехзвенные рычажные механизмы благодаря своему уникальному сочетанию конструктивных и функциональных преимуществ. Данные механизмы при минимальном количестве звеньев позволяют реализовать сложные траектории движения рабочих органов машин за счет рационального выбора их геометрических параметров [1]. Однако в связи с возросшими требованиями к эффективности, точности и надежности рычажных механизмов традиционные методы проектирования, основанные на опыте и интуиции, уже с трудом позволяют достичь необходимых кинематических параметров. Поэтому оптимизационный кинематический синтез рычажных механизмов становится ключевым фактором, обеспечивающим конкурентоспособность разрабатываемой техники.

В учебной практике в основном уделяется внимание геометрическим методам синтеза рычажных механизмов, которые отличаются наглядностью, относительной простотой, но уступают в точности решения поставленной задачи [2]. В последнее время в связи с широким внедрением математических пакетов и языков программирования произошел заметный скачок в применении численных алгоритмов оптимизации для кинематического синтеза рычажных механизмов [3 - 7]. В результате геометрические методы синтезы постепенно уходят на второй план, уступая место более точным и эффективным машинным алгоритмам.

На сегодняшний день не существует универсального численного алгоритма, способного эффективно решать весь спектр оптимизационных задач [8]. Применение популярных градиентных алгоритмов к задачам оптимизационного кинематического синтеза рычажных механизмов требует больших затрат вычислительных ресурсов и не всегда является эффективным. В то же время, потенциал безградиентных алгоритмов для решения данного класса задач освещен в научной литературе недостаточно полно, что с учетом их высокой адаптацией для программной реализации [9], требует проведения дополнительных исследований.

Цель исследования. Оценить возможность применения алгоритма многопараметрической безградиентной оптимизации на основе метода деформируемого многогранника для решения задачи оптимизационного кинематического синтеза плоского рычажного механизма. Дать качественную оценку использования данного метода при его реализации в математическом пакете PTC MathCAD.

Методы исследований. Аналитическое описание кинематики рассматриваемого плоского рычажного механизма основано на векторном методе преобразования координат в неизменном базисе. При проведении оптимизационного кинематического синтеза механизма использовались численные методы оптимизации и математического программирования.

Постановка и решение задачи кинематического анализа. Среди четырехзвенных рычажных механизмов, особое место занимает так называемый лямбда-механизм (лямбдообразный механизм или механизм Чебышева), кинематическая схема которого приведена на рисунке 1. При определенном сочетании длин звеньев, лямбда-механизм преобразует вращательное движение ведущего звена в приближенное прямолинейное движение одной из своих точек на некотором ограниченном участке траектории ее движения [10]. Несмотря на то, что на сегодняшний день наблюдается тенденция к постепенному вытеснению лямбда-механизмов более точными механическими системами, данные механизмы все еще активно используются в машиностроении [11, 12], а оценка эффективности работы многих оптимизационных алгоритмов проверяется именно на данном механизме [13, 14].

Пусть для рассматриваемого лямбда-механизма (см. рисунок 1), имеющего произвольные геометрические параметры, требуется обеспечить максимально прямолинейный участок траектории шатунной кривой т. M. Данная траектория должна быть расположена на некотором заданном расстоянии по вертикали YM, и проходить через три точки каждая из которых соответствует определенному углу j поворота ведущего звена. Примем, что две крайние точки для j=90° и -90° расположены на расстоянии ±XM по горизонтали относительно начала принятой системы координат, а ордината средней точки для j=0° совпадает с началом системы координат (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Кинематическая схема лямбда-механизма:
1 – кривошип; 2 – шатун; 3 – коромысло

В качестве оптимизируемых параметров будут выступать длины звеньев рычажного механизма, а также координата т. O по оси X, которые представим в виде следующего вектора оптимизируемых параметров:

Прежде чем приступать к решению задачи оптимизационного кинематического синтеза рассматриваемого механизма, необходимо описать кинематику движения всех его характерных точек с учетом вектора оптимизируемых параметров (1) и угла j поворота ведущего звена к горизонтальной оси X принятой системы координат (обобщенной координаты). В основу аналитического описания кинематики лямбда-механизма положен векторный метод преобразования координат в неизменном базисе, представленный в работах [15 - 17]. Используя приведенные в данных работах аналитические зависимости, опишем кинематику рассматриваемого рычажного механизма:

Выражением (3) получен вектор звена OA путем поворота единичного вектора оси X на угол j против хода часовой стрелки (перед углом стоит знак «+») с изменением его длины на оптимизируемую длину p1ºLOA.

Выражением (5) получен угол αBCA с вершиной в т. C по теореме косинусов с использованием двух оптимизируемых длин звеньев p2ºLBC и p3ºLAB, а также модуля вектора звена CA, определяющего длину между точками C и A.

Выражением (8) получен вектор звена BM, являющийся коллинеарным к исходному поворачиваемому вектору звена AB (поворот исходного вектора осуществлен на нулевой угол).

Приведенные выражения (2) - (9) являются функциями, зависящими не только от обобщенной координаты – угла j поворота ведущего звена, но и от вектора (1) оптимизируемых параметров.

Постановка и решение задачи оптимизационного синтеза. В большинстве случаев аналитическое решение задачи оптимизационного кинематического синтеза рычажного механизма позволяет приближенно реализовать требуемую траекторию движения интересующей точки механизма. Однако за счет разработки и внедрения в современных математических пакетах и языках программирования высокоэффективных алгоритмов оптимизации стало возможным существенно повысить точность решения такой задачи.

Задача любого оптимизационного синтеза заключается в минимизации некоторой целевой функции. Как правило, при формировании такой целевой функции используется метод наименьших квадратов невязок некоторого расчетного параметра от его оптимального (допускаемого) значения [5, 6]. Для рассматриваемого механизма в качестве такой невязки будет выступать отклонение расчетной траектории шатунной кривой радиус-вектора т. M от заданной оптимальной траектории радиус-вектора т. M*, а сама сформированная целевая функция может быть представлена в следующем виде:

где n – число заданных точек прямолинейного участка траектории т. M.

Для проведения оптимизационного кинематического синтеза рассматриваемого лямбда-механизма путем минимизации сформированной целевой функции (10), был применен метод деформируемого многогранника известный также как метод Нелдера–Мида [18]. Указанный метод работает с симплексом – геометрической фигурой, каждая вершина которой соответствует некоторому вектору набора оптимизируемых параметров.

Для программной реализации оптимизационного алгоритма деформируемого многогранника использовались известные блок-схемы [8, 18, 19], примеры адаптации алгоритма в различных математических пакетах и языках программирования [19 - 22], а также работы [23 - 25]. В результате для математического пакета PTC MathCAD была осуществлена программная реализация полностью работоспособного оптимизационного алгоритма методом деформируемого многогранника [26].

Особенностью данного алгоритма стало: использование легко читаемого программного кода, за счет применения осмысленных буквенных обозначений для вершин симплекса (вместо i-ых индексов); автоматизированное формирование вершин исходного регулярного симплекса, интегрированное в тело алгоритма; ряд второстепенных программных улучшений, направленных на повышение эффективности работы алгоритма. Также стоит отметить, что из-за обнаруженного разночтения в опубликованных блок-схемах алгоритма, в качестве исходной была принята оригинальная схема [18].

Работоспособность оптимизационного алгоритма деформированного многогранника для математического пакета PTC MathCAD проводилась на известных тестовых функциях [27]. Как показали результаты исследования, метод деформируемого многогранника обладает достаточной высокой точностью решения, а также скоростью сходимости за счет отсутствия операций с производными. В результате данный метод потенциально может позволить использовать большое число оптимизируемых параметров, а также применять более сложные критерии оптимизации, что особенно важно при проведении оптимизационного кинематического синтеза многозвенных рычажных механизмов.

Результаты и обсуждение. Из аналитической геометрии известно, что если в пространстве необходимо построить регулярный симплекс, одна из вершин которого находится в точке исходного вектора оптимизируемых параметров, то координаты оставшихся вершин такого симплекса удобно задавать с помощью N×(N+1) матрицы [8, 9]. Для принятого вектора оптимизируемых параметров (1), состоящего из пяти элементов, данная матрица будет иметь вид:

где a – расстояние между двумя вершинами симплекса; N – число вершин симплекса; pin – исходный вектор оптимизируемых параметров, используемый в качестве начального приближения в оптимизационном алгоритме.

После того как сформирована матрица вершин исходного регулярного симплекса, можно применить предложенный математический алгоритм оптимизации методом деформируемого многогранника [26], для которого входными параметрами будут выступать матрица вершин регулярного симплекса (11) и целевая функция (10), а выходным параметром – вектор найденных оптимизированных параметров:

На рисунке 2 приведена визуализация в математическом пакете PTC MathCAD кинематической схемы рассматриваемого рычажного механизма до и после проведения оптимизационного кинематического синтеза методом деформируемого многогранника, а в таблице приведены числовые значения для вектора исходных и оптимизированных параметров.

а)                                                                    б)
Рисунок 2 – Визуализация в математическом пакете PTC.MathCAD кинематической схемы механизма до (а) и после (б) проведения оптимизационного синтеза

Таблица – Результаты оптимизационного синтеза, мм

Как видно из полученных результатов расчета (см. рисунок 2, б) прямолинейный участок траектории шатунной кривой т. M полностью удовлетворяет всем предъявленным требованиям (проходит через все заданные точки). При этом значения трех оптимизируемых параметров (длин звеньев LBC, LAB, LBM) получены практически равными друг другу, что соответствует известным аналитическим выражениям [1, 10].

Стоит отметить, что на сегодняшний день все современные оптимизационные алгоритмы должны иметь возможность решать задачи с учетом функциональных ограничений. Решение таких задач имеет большое практическое значение для машиностроения т.к. в процессе кинематического синтеза на все оптимизируемые параметры рычажных механизмов могут накладываться определенные функциональные ограничения (например, ограничения на длины звеньев). Как показали результаты исследования, оптимизационный алгоритм деформируемого многогранника возможно адаптировать к решению задач условной оптимизации с ограничениями в виде равенств и (или) неравенств без существенного снижения точности и скорости решения, воспользовавшись для этого методом штрафных или барьерных функций [8].

Для решения задачи оптимизационного кинематического синтеза рычажного механизма с учетом ограничений, все наложенные ограничения в виде равенств или неравенств должны быть приведены к следующему виду:

Тогда, воспользовавшись методом штрафных функций, суммарные функции штрафов можно представить как [8, 20]:

где Ch и Cg – коэффициенты штрафов для равенств и неравенств.

После чего, сформированную общую функцию штрафов (12) необходимо добавить к целевой функции (10) и заново решить оптимизационную задачу методом деформируемого многогранника:

Проверка адекватности. Для проверки достоверности найденного глобального минимума целевой функции применялись два наиболее распространенных подхода. Первый подход заключался в сравнение с результатами расчета, полученными с помощью других уже проверенных оптимизационных алгоритмов, а второй – в сравнении с результатами расчета, полученными для разных начальных значений исходного вектора оптимизируемых параметров.

Проверка оптимизационного алгоритма с помощью первого подхода проводилась при помощи встроенного в математический пакет PTC MathCAD функции численной минимизации [20, 22], результаты расчета которой сведены в таблицу:

Проверка с помощью второго подхода проводилась путем изменения значений для вектора оптимизируемых параметров в пределах ±30% от их исходных величин, с последующим отслеживаем поиска оптимального решения алгоритмом. Все полученные результаты проверки подтвердили достаточно устойчивую сходимость оптимизационного алгоритма к одному и тому же глобальному минимуму целевой функции.

Заключение. В работе представлен алгоритм и результаты оптимизационного кинематического синтеза рычажного механизма методом деформируемого многогранника. Данный метод показал высокую скорость поиска оптимального решения, эффективное применение с большим числом оптимизируемых параметров, а также возможность постановки задачи с учетом или без учета дополнительных ограничений. Известная чувствительность метода деформируемого многогранника к начальным условиям проявляется на сильно овражных функциях, что необходимо учитываться при применении данного оптимизационного алгоритма к той или иной поставленной задаче.

Список литературы

1. Артоболевский, И. И. Механизмы в современной технике: справ. пособие: в 7 т. / И. И. Артоболевский – 2-е изд. перераб. – М. : Наука, 1979. – Т. 1 : Элементы механизмов. Простейшие рычажные и шарнирно-рычажные механизмы. – 496 с.

2. Артоболевский, И. И. Синтез плоских механизмов: учеб. для втузов / И. И. Артоболевский, Н. И. Левитский, C. A. Черкудинов – М. : Физматгиз, 1959. – 1084 с.

3. Yao, X. Optimal synthesis of four-bar linkages for path generation using the individual repairing method / X. Yao, X. Wang, W. Sun et. al. // Mechanical Sciences. – 2022. – Vol. 13, no. 1. – P. 79–87.

4. Garcia-Marina, V. Optimum dimensional synthesis of planar mechanisms with geometric constraints / V. Garcia-Marina, I. Fernandez de Bustos, G. Urkullu et al. // Meccanica. – 2020. – Vol. 55. – P. 2135-2158.

5. Халтурин, М. А. Синтез прямолинейно-направляющего механизма для отрезки заготовок эскимо / М. А. Халтурин // Вестник Вологодского государственного университета. Серия: Технические науки. – 2019. – № 1(3). – С. 27-34.

6. Бейсенов, Н. К. Оптимизационно-метрический синтез шарнирного четырехзвенника / Н. К. Бейсенов // Технические науки - от теории к практике. – 2016. – № 55. – С. 65-77.

7. Гебель, Е. С. Оптимизационный кинематический синтез четырехзвенного рычажного механизма по двум заданным положениям / Е. С. Гебель, Е. А. Чигринова // Омский научный вестник. – 2020. – № 3(171). – С. 21-25.

8. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау; пер. с англ. И. Н. Быховской и Б. Т. Вавилова ; под ред. М. Л. Быховского. – М. : Мир, 1975. – 534 с.

9. Аттетков, А. В. Методы оптимизации: учеб. для вузов / А. В. Аттетков, С. В. Галкин, В. С. Зарубин; под. ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М. : МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 440 с.

10. Баранов, Г. Г. Курс теории механизмов и машин / Г. Г. Баранов. – М. : Машиностроение, 1975. – 494 с.

11. Будзило, Е. Е. Использование нового бульдозерного оборудования с механизмом Чебышева при производстве строительных работ / Е. Е. Будзило, Е. В. Гречишкина, М. Ю. Псюк // Наукоемкие технологии и оборудование в промышленности и строительстве. – 2023. – № 2(76). – С. 106-113.

12. Manickavelan, K. Design, Fabrication and Analysis of Four Bar Walking Machine Based on Chebyshev’s Parallel Motion Mechanism / K. Manickavelan, B. Singh, N. Sellappan // European International Journal of Science and Technology. – 2014. – Vol. 3, no. 8. – P. 65–73.

13. Mehdigholi, H. Optimization of Watt's Six-Bar Linkage to Generate Straight and Parallel Leg Motion / H. Mehdigholi, S. Akbarnejad // International Journal of Advanced Robotic Systems. – 2012. – Vol. 9, no. 22. – P. 1–6.

14. Поляков, Б. Н. Оптимизация кинематических параметров рычажных четырехзвенных механизмов / Б. Н. Поляков // Прикладная информатика. – 2010. – № 3(27). – С. 108-112.

15. Бобыренко, С. Н. Моделирование процесса работы механизма подпрессовки питающего аппарата кормоуборочного комбайна / С. Н. Бобыренко, А. В. Котов // Вестник Белорусско-Российского университета – Могилев, 2011. №1 (30). – С. 18-26.

16. Котов, А. В. Оптимизация параметров предохранительного элемента пальчикового механизма шнека жатки зерноуборочного комбайна / А. В. Котов // Тракторы и сельхозмашины. – 2023. – Т. 90. – №1. – C. 13–24.

17. Котов, А. В. Анализ уравновешенности кривошипно-ползунного механизма привода режущего аппарата методом векторов главных точек / А. В. Котов // Тракторы и сельхозмашины. – 2024. -– Т. 91. – №2. – C. 167–180.

18. Nelder, J. A. A simplex method for function minimization / J. A. Nelder, R. Mead // Computer joornal. – 1965. – Vol. 7. – P. 308–313.

19. Банди, Б. Методы оптимизации: вводный курс / Б. Банди; пер. с англ. О. В. Шихеевой; под ред. В. А. Волынского. – М. : Радио и связь, 1988. – 128 с.

20. Гальченко, В. Я. MathCAD: математические методы и инструментальные средства оптимизации / В. Я. Гальченко, Р. В. Трембовецкая. – Черкассы: ЧП Гордиенко Е. И., 2018. – 516 с.

21. Мэтьюз, Джон Г. Численные методы. Использование MATHLAB / Джон Г. Мэтьюз, Куртис, Д. Финк – 3-е издание. : пер. с англ. – М. : Вильямс, 2001. – 720 с.

22. Дмитриева, Т. Л. Реализация условной задачи нелинейного математического программирования с использованием метода деформируемого многогранника в программе MathCAD / Т. Л. Дмитриева, В. Т. Нгуен // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2014. – № 4(44). – С. 73-79.

23. Lagarias, J. C. Convergence of the restricted Nelder-Mead algorithm in two dimensions / J. C. Lagarias, B. Poonen, M. H. Wright // SIAM Journal on Optimization. – 2012. – Vol. 22, no. 2. – P. 501–532.

24. Суфиянов, В. Г. Метод Нелдера-Мида решения задачи оптимизации геометрической формы ствола автоматической пушки для улучшения колебательных характеристик / В. Г. Суфиянов, Д. А. Клюкин, И. Г. Русяк // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. – 2023. – Т. 25, №4(114). – С. 121-131.

25. Петрушин, А. Д. Оптимизация активной части вентильно-индукторного электродвигателя / А. Д. Петрушин, А. В. Кашуба // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. – 2016. – № 1(61). – С. 61-65.

26. Алгоритм деформируемого многогранника [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://drive.google.com/file/d/172ozZXeprDCfWc3eA4_-xJd_zgVEIpyv. – Дата доступа: 01.11.2025.

27. Тимофеева, О. П. Исследование популяционных алгоритмов в решении задач непрерывной оптимизации / О. П. Тимофеева, С. А. Неимущев, Л. И. Неимущева // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. – 2018. – № 4(123). – С. 48-55.

Любое цитирование текста, использование тезисов или иллюстраций из данной статьи допускается только с указанием обязательной ссылки на первоисточник. Пожалуйста, уважайте авторские права и интеллектуальную собственность.

Для цитирования данной работы | To cite this work:

Котов, А. В. Оценка возможности применения метода деформируемого многогранника к задаче оптимизационного кинематического синтеза плоского рычажного механизма / А. В. Котов, Д. Г. Кроль // Механика. Исследования и инновации. – 2025. – № 18. – С. 81-89. – EDN KIRXMS.

Kotov A. V., Krol D. G. Ocenka vozmozhnosti primeneniya metoda deformiruemogo mnogogrannika k zadache optimizacionnogo kinematicheskogo sinteza ploskogo rychazhnogo mekhanizma [Evaluation of the possibility of applying the deformable polyhedron method to the problem of optimization kinematic synthesis of a flat lever mechanism]. Mekhanika. Issledovaniya i innovacii [Mechanics. Researches and innovations], 2025, no. 18, pp. 81–89 (in Russ.).

Ссылка на оригинальную работу в формате *.pdf