Способ графического отображения математических моделей плоских рычажных механизмов с помощью матриц однородного преобразования

Авторы: Котов А.В.

Научный руководитель: Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Многие работы, посвященные разработке математических моделей плоских рычажных механизмов, проводятся в специализированных математических пакетах или с использованием универсальных языков программирования [1, 2]. Имеющиеся в данных программных средствах инструменты для графического отображения результатов моделирования являются весьма полезными и удобными в использовании, однако их потенциал применяется далеко не всегда [3, 4]. В большинстве случаев чтобы осуществить в полном объеме графическое отображение математической модели плоского рычажного механизма, необходимо обладать определенными знаниями программирования, что не всегда является возможным. Поэтом разработка доступного, наглядного, а главное универсального способа графического отображения математических моделей плоских рычажных механизмов является все еще актуальной научной и практической задачей.

Материал и методы. В данной работе предлагается способ графического отображения математической модели плоского рычажного механизма при проведении его кинематического анализа с помощью матриц однородного преобразования. Учитывая, что все современные компьютерные вычислительные средства имеют свои индивидуальные особенности отображения графических результатов, то предложенный способ будет рассмотрен на примере математического пакета PTC.MathCAD.

При математическом описании произвольного сложного движения некоторого графического объекта на плоскости в однородных координатах последовательно рассматриваются элементарные (базовые) преобразования движения [5, 6], каждое из которых можно представить в виде матриц размером 3×3 (параллельный перенос, поворот, масштабирование относительно начала системы координат и др.). При этом для реализации окончательного графического отображения графического объекта с помощью одного математического действия, достаточно последовательно перемножить все необходимые матрицы однородного преобразования.

Для осуществления графического отображения интересующего объекта математической модели рычажного механизма на плоскости XY принятой декартовой системы координат необходимо вначале составить базовую матрицу, состоящую из координат точек (вершин) исходного объекта. Особенностью данной матрицы является то, что третьей координатой (в соответствии с теорией однородных преобразований) всегда выступает число 1. После чего базовая матрица графического объекта, в зависимости от его положения и роли в математической модели, последовательно умножается на соответствующие матрицы однородного преобразования. В общем виде математическую запись указанных действий с матрицами однородных преобразований для произвольного графического отображения объекта можно записать как:

где scale – масштабный фактор для осей X и Y принятой системы координат; rx, ry – проекции радиус-вектора точки, в которую необходимо переместить графический объект; α – угол поворота графического объекта на плоскости относительно начала системы координат, рад; xi, yi – координаты i-ой точки базовой матрицы исходного объекта.

Результаты и их обсуждение. При осуществлении графического отображения математической модели рычажного механизма будем считать, что для заданного закона движения входного звена (изменения обобщенной координаты) заранее уже выполнен кинематический анализ механизма одним из известных методов, например методом преобразования координат в неизменном базисе [7].

Приведем пример реализации графического отображения упругого элемента (пружины) на кинематической схеме рычажного механизма с помощью матриц однородного преобразования в математическом пакете PTC.MathCAD, используя для этого пользовательскую функцию, приведенную на рисунке 1. Данная пользовательская функция содержит четыре входных параметра: A, B – радиус-вектора точек, между которыми требуется графически отобразить упругий элемент; N – требуемое для отображения число условных витков пружины; scale – масштабный фактор. Результатом вычисления данной пользовательской функции будет конечная матрица чисел для графического отображения упругого элемента с динамически изменяющимся расстоянием между витками, имитирующими процесс растяжения или сжатия.

Рисунок 1 – Пользовательская функция для отображения упругого элемента в математическом пакете PTC.MathCAD

Для графического отображения на кинематической схеме рычажного механизма динамического объекта в виде упругого элемента (например, расположенного между точками E и B с условным числом витков 10 и масштабным фактором 15), необходимо составить нижеприведенное выражение и поместить его по соответствующим осям X и Y декартового графика в математическом пакете PTC.MathCAD:

где XY – параметр, отвечающий за вывод отдельного столбца массива, содержащего координаты точек по осям X или Y принятой декартовой системы координат.

На рисунке 2 представлен пример графического отображения математической модели плоского рычажного механизма при проведении его кинематического анализа с помощью пользовательских функций, сформированных на основе матриц однородного преобразования. В зависимости от отображаемого на кинематической схеме положения рычажного механизма расстояние между витками пружины будет динамически изменяться, имитирую тем самым ее работу.

Рисунок 2 – Графическое отображение математической модели плоского рычажного механизма при проведении его кинематического анализа в PTC.MathCAD

Кроме того, возможности математического пакета PTC.MathCAD позволяют для полученного графического отображения математической модели плоского рычажного механизма создавать соответствующие анимационные ролики в видеоформате [8].

Заключение. Изложенный способ графического отображения математических моделей плоских рычажных механизмов с помощью матриц однородного преобразования позволяет обеспечить точное и наглядное представление результатов их кинематического анализа. Такой подход дает возможность уже на стадии предварительного математического моделирования контролировать корректность аналитических зависимостей и проводить всестороннее изучение кинематических характеристик механизмов. Предложенный способ является универсальным и может быть адаптирован в любых современных математических пакетах и языках программирования с учетом специфики их работы с графическими объектами.

Список литературы

1. Бертяев, В.Д. Теоретическая механика на базе MathCAD. Практикум / В.Д. Бертяев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 734 с.

2. Дворжак, В.М. Візуалізація схемотехнічного моделювання механізмів технологічних машин / В.М. Дворжак, Д.Л. Литвяк, І.С. Мелащенко [та iн.] // Технології та дизайн. – 2018. – № 4 (29). – С. 1-9.

3. Евграфов, А.Н. Компьютерная анимация кинематических схем в программах Excel и MathCAD / А.Н. Евграфов, Г.Н. Петров // Теория механизмов и машин. 2008. –  №1(11). – С. 71-80.

4. Очков, В.Ф. Живые кинематические схемы в MathCAD / В.Ф. Очков // Открытое образование. – 2013. – № 3(98). – С. 27-33.

5. Зенкевич, С.Л. Основы управления манипуляционными роботами: Учебник для вузов / С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 480 с.

6. Порев, В.Н. Компьютерная графика / В.Н. Порев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 432 с.

7. Котов, А.В. Оптимизация параметров предохранительного элемента пальчикового механизма шнека жатки зерноуборочного комбайна / А.В. Котов // Тракторы и сельхозмашины. - 2023. - Т. 90. - №1. - C. 13-24. – DOI: https://doi.org/10.17816/0321-4443-114970.

8. Котов, А.В. Графическое отображение математической модели пружинно-рычажного механизма в математическом пакете PTC.MathCAD [Видео]. – Режим доступа: https://www.youtube.com/watch?v=wb-fiqrnonw. – Дата доступа: 01.09.2025.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Для цитирования данной работы:

Котов, А. В. Способ графического отображения математических моделей плоских рычажных механизмов с помощью матриц однородного преобразования / А. В. Котов // XIX Машеровские чтения : материалы междунар. науч.-практич. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 24 октября 2025 г. : в 2 т. / редкол. : Е. Я. Аршанский (гл. ред.) [и др.] – Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2025. – Т. 1. – С. 25-28.

Kotov A. V. Sposob graficheskogo otobrazheniya matematicheskikh modeley ploskikh rychazhnykh mekhanizmov s pomoshch'yu matrits odnorodnogo preobrazovaniya [A method for graphical representation of mathematical models of flat lever mechanisms using homogeneous transformation matrices]. Materialy XIX mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii studentov, aspirantov i molodykh uchenykh "Masherovskiye chteniya" [Materials of the XIX international scientific and technical conference of students, postgraduates and young scientists "Masherov Readings"]. Vitebsk, 2025, vol. 1, pp. 25-28 (in Russ.).

Ссылка на оригинальную работу в формате *.pdf