Optimization synthesis of flat lever mechanisms by pressure angle

Authors: Kotov A.V., Krol D. G., Ph. D. in Phys. And Math., Assoc. Prof.

This article is a translation of the original work of the same name, which was written in Russian and published in a peer-reviewed journal. I decided to prepare and publish its English version for several reasons. First, science and engineering thinking have no language barriers. Publishing a translation is a step towards drawing attention to my research from a wider audience, including foreign colleagues, engineers and researchers who may find the proposed method useful. Second, publishing the article in English helps increase the visibility of the blog itself in foreign search engines. This means that my developments and findings are more likely to reach those who truly need them. I am open to discussion, feedback and professional dialogue with anyone who finds the topic of my research relevant. I will be glad if this material proves useful beyond the Russian-speaking audience.

Introduction. The problem of ensuring high efficiency and reliability of lever mechanisms is directly related to minimizing losses in their kinematic pairs, which, in turn, depend on the pressure angle [1, 2]. Exceeding the pressure angle beyond the recommended optimal value leads to an increase in friction losses and radial loads in the joints of the lever mechanism, which results in increased wear, jamming, and a decrease in the overall efficiency of the mechanism [3].

Traditionally, the synthesis of mechanisms based on the pressure angle is classified as a kinematic design task and is solved using graphical or analytical methods, which include constructing position and velocity plans [4 – 6]. Such synthesis can precede force analysis and provide additional qualitative and quantitative assessment of the potential force loading of the mechanism under study. However, formulating and solving this problem often requires cumbersome calculations and graphical constructions, which complicates the possibility of algorithmization and optimization [7].

The application of vector analysis or complex number theory for describing the kinematics of planar lever mechanisms is a well-established and effective approach [8, 9]. It allows for uniform, compact, and minimal analytical expressions to calculate the positions and velocities of all characteristic points and links of the mechanism. At the same time, the potential of vector analysis and complex numbers for solving kinematic synthesis problems, in particular optimization of pressure angles in joints, has not been fully explored. In this regard, the development of a methodology for the rapid assessment of pressure angles at the stage of mathematical modeling, based on this apparatus, retains its scientific and practical relevance.

Командировка в Конью: композиты, оси и турецкая инженерия

Авторы: Котов А.В.

Хотя моя командировка в Турцию состоялась еще в феврале 2026 г., только сейчас дошли руки, чтобы подробно написать о ней в блоге. Времени на разбор впечатлений и систематизацию заметок всегда не хватает, но такие поездки хочется сохранить не только в памяти, но и на страницах блога — чтобы остались воспоминания.

Итак, в феврале этого года состоялась моя двухдневная рабочая поездка в Турцию, в город Конья (Konya). Задача была непростой, но очень интересной: провести переговоры с компанией Mustafa Ceylan о возможном будущем сотрудничестве по приобретению комплектующих для перспективных проектов мобильных буровых установок.

Путь был долгим. Сначала поезд Гомель — Минск, затем автобус до Национального аэропорта, и два авиаперелета с пересадкой в Москве и Стамбуле. В Конью я прибыл только утром. Встречали нас радушно, заселили в гостиницу, а уже через пару часов началась первая часть деловой программы.

🏙️ Конья — промышленное сердце Турции

Конья (Konya) — это не только город дервишей и великого поэта Мевляны, но и один из важнейших промышленных центров Турции. Как нам рассказала переводчица (прекрасно говорящая на русском, турецком и английском), здесь действительно делают все — от гвоздей до сложных сельскохозяйственных машин. И это не преувеличение.

Оптимизационный синтез плоских рычажных механизмов по углу давления

Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Введение. Проблема обеспечения высокого КПД и надежности рычажных механизмов напрямую связана с минимизацией потерь в его кинематических парах, которые, в свою очередь, зависят от угла давления [1, 2]. Превышение угла давления от рекомендуемого оптимального значения, приводит к увеличению потерь на трение и радиальных нагрузок в шарнирах рычажного механизма, что приводит к повышенному износу, заклиниванию и снижению общего КПД механизма [3].

Традиционно синтез механизмов по углу давления относится к задачам кинематического проектирования и решается графическими или аналитическими методами, включающими в себя построение планов положений и скоростей [4 – 6]. Такой синтез может предшествовать силовому анализу и давать дополнительную качественную и количественную оценку о потенциальной силовой нагруженности исследуемого механизма. Однако постановка и решение такой задачи часто требует громоздких выкладок и графических построений, что затрудняет возможность проведения алгоритмизации и оптимизации [7].

Применение векторного анализа или теории комплексных чисел для описания кинематики плоских рычажных механизмов является хорошо зарекомендовавшим и эффективным подходом [8, 9]. Он позволяет единообразно, компактно и с минимальным числом аналитических выражений вычислять положения и скорости всех характерных точек и звеньев механизма. В то же время, потенциал векторного анализа и комплексных чисел для решения задач кинематического синтеза, в частности оптимизации углов давления в шарнирах, раскрыт недостаточно полно. В связи с этим, разработка методики оперативной оценки углов давления на этапе математического моделирования, основанной на этом аппарате, сохраняет свою научную и практическую актуальность.

Целью настоящего исследования является разработка методики оптимизационного синтеза плоского рычажного механизма по ограничению угла давления. Для достижения поставленной цели получены оригинальные аналитические зависимости для расчета угла давления, а также численные алгоритмы оптимизации.

Evaluation of the possibility of applying the deformable polyhedron method to the problem of optimization kinematic synthesis of a flat lever mechanism

Authors: Kotov A.V., Krol D. G., Ph. D. in Phys. And Math., Assoc. Prof.

This article is a translation of the original work of the same name, which was written in Russian and published in a peer-reviewed journal. I decided to prepare and publish its English version for several reasons. First, science and engineering thinking have no language barriers. Publishing a translation is a step towards drawing attention to my research from a wider audience, including foreign colleagues, engineers and researchers who may find the proposed method useful. Second, publishing the article in English helps increase the visibility of the blog itself in foreign search engines. This means that my developments and findings are more likely to reach those who truly need them. I am open to discussion, feedback and professional dialogue with anyone who finds the topic of my research relevant. I will be glad if this material proves useful beyond the Russian-speaking audience.

Introduction. In modern mechanical engineering, four-bar linkages are widely used due to their unique combination of design and functional advantages. These mechanisms, with a minimum number of links, make it possible to realize complex trajectories of the working parts of machines through the rational selection of their geometric parameters [1]. However, due to increased requirements for the efficiency, accuracy and reliability of lever mechanisms, traditional design methods based on experience and intuition are no longer sufficient to achieve the required kinematic parameters. Therefore, optimization kinematic synthesis of lever mechanisms is becoming a key factor ensuring the competitiveness of the equipment being developed.

In educational practice, the main focus is on geometric methods of synthesis of lever mechanisms, which are clear and relatively simple, but inferior in accuracy to the solution of the problem [2]. Recently, due to the widespread introduction of mathematical packages and programming languages, there has been a significant leap in the application of numerical optimization algorithms for kinematic synthesis of lever mechanisms [3 - 7]. As a result, geometric synthesis methods are gradually receding into the background, giving way to more accurate and efficient machine algorithms.

To date, there is no universal numerical algorithm capable of effectively solving the entire spectrum of optimization problems [8]. The application of popular gradient algorithms to the problems of optimization kinematic synthesis of lever mechanisms requires large computational resources and is not always effective. At the same time, the potential of gradient-free algorithms for solving this class of problems is not fully covered in the scientific literature, which, given their high adaptability for software implementation [9], requires additional research.

Aim of the research. To evaluate the possibility of applying a multi-parameter gradient-free optimization algorithm based on the deformed polyhedron method to solve the problem of optimization kinematic synthesis of a flat lever mechanism. To provide a qualitative assessment of the use of this method when it is implemented in the mathematical package PTC MathCAD.

Гомель — Ветка на велосипеде: маршруты, впечатления и советы

Авторы: Котов А.В.

Рано или поздно каждый велосипедист, который любит кататься по родному городу, начинает задумываться о новых маршрутах. Сначала они выходят за пределы знакомых дворов и парков, потом — за черту города. И вот ты уже смотришь на карту и выбираешь, куда бы отправиться в следующие выходные.

В этом году я наконец решился на небольшое, но знаковое путешествие — из Гомеля в Ветку. Расстояние около 30–35 км в один конец. Для первой поездки в другой город — самое то (при моей крейсерской скорости по городу на велосипеде 20…25 км/ч). Тем более что в Ветке есть на что посмотреть, а дорога сама по себе уже становится частью приключения.

🗺️ Два маршрута — два настроения

Я всегда стараюсь строить маршрут так, чтобы путь туда и обратно отличался. Так интереснее, и можно увидеть больше. Для Ветки у меня сложилось два основных варианта.

Маршрут №1 (короткий и прямой)

Самый простой способ добраться: старт от пересечения улиц Советской и Малайчука (район Гомельводоканала) и дальше прямо по трассе Р-30 до самой Ветки. Дорога идет через Поколюбичи и Хальч — при желании там можно сделать остановку. Маршрут идеален для мая, когда поля вокруг цветут ярким желтым рапсом. Минус — почти вся дорога проходит по открытой местности. В жару или сильный ветер ехать тяжело (один раз я попал под встречный ветер, и скорость упала до 10 км/ч). При пересечении населенных пунктов встречаются участки с выделенными велосипедными дорожками, при движении по трассе - есть достаточное по ширине место для проезда одного велосипеда, а вот по обочине ехать не вариант – камни и песок. Заблудиться на данном маршруте не возможно - движемся все время прямо вдоль трассы.

Маршрут №2 (длиннее, но живописнее)

Начинается от улицы Луначарского и проходит по трассам Н-4102 и Р-124. В начале пути придется потерпеть: участок у Восточного обхода — с грузовиками и без велодорожки. Зато после поворота на Романовичи дорога становится свободной и ведет через лесистую местность, машин на трассе - минимальное количество, обочины нет, поэтому вся дорога идет по трассе. Здесь приятно ехать даже в жару: есть тень, защита от ветра. Идеален для осенних поездок, когда листва меняет цвет. Для данного маршрута есть шанс, хоть и не большой свернуть не туда, поэтому стоит обращать внимание на дорожные знаки или сверяться с навигатором.

Третий маршрут (через Красный Маяк, Мостище, Станки, Победу) я пока не пробовал. Но, возможно, когда-нибудь дойдут руки (точнее ноги) и до него.

Оценка возможности применения метода деформируемого многогранника к задаче оптимизационного кинематического синтеза плоского рычажного механизма

Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Введение. В современном машиностроении широкое применение нашли четырехзвенные рычажные механизмы благодаря своему уникальному сочетанию конструктивных и функциональных преимуществ. Данные механизмы при минимальном количестве звеньев позволяют реализовать сложные траектории движения рабочих органов машин за счет рационального выбора их геометрических параметров [1]. Однако в связи с возросшими требованиями к эффективности, точности и надежности рычажных механизмов традиционные методы проектирования, основанные на опыте и интуиции, уже с трудом позволяют достичь необходимых кинематических параметров. Поэтому оптимизационный кинематический синтез рычажных механизмов становится ключевым фактором, обеспечивающим конкурентоспособность разрабатываемой техники.

В учебной практике в основном уделяется внимание геометрическим методам синтеза рычажных механизмов, которые отличаются наглядностью, относительной простотой, но уступают в точности решения поставленной задачи [2]. В последнее время в связи с широким внедрением математических пакетов и языков программирования произошел заметный скачок в применении численных алгоритмов оптимизации для кинематического синтеза рычажных механизмов [3 - 7]. В результате геометрические методы синтезы постепенно уходят на второй план, уступая место более точным и эффективным машинным алгоритмам.

На сегодняшний день не существует универсального численного алгоритма, способного эффективно решать весь спектр оптимизационных задач [8]. Применение популярных градиентных алгоритмов к задачам оптимизационного кинематического синтеза рычажных механизмов требует больших затрат вычислительных ресурсов и не всегда является эффективным. В то же время, потенциал безградиентных алгоритмов для решения данного класса задач освещен в научной литературе недостаточно полно, что с учетом их высокой адаптацией для программной реализации [9], требует проведения дополнительных исследований.

Цель исследования. Оценить возможность применения алгоритма многопараметрической безградиентной оптимизации на основе метода деформируемого многогранника для решения задачи оптимизационного кинематического синтеза плоского рычажного механизма. Дать качественную оценку использования данного метода при его реализации в математическом пакете PTC MathCAD.