Метод обратного кинематического синтеза плоского рычажного механизма

Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Введение

Кинематический синтез плоского рычажного механизма заключается в определении параметров его кинематической схемы по заданным условиям движения ведомого звена. Одной из разновидностей этой задачи является синтез механизма, воспроизводящего заданную траекторию движения определенного звена или точки [1]. Такие механизмы до сих пор остаются востребованными во многих отраслях машиностроения [2 - 4], а их оптимальное проектирование непосредственно связано с постановкой и решением задачи кинематического синтеза.

Несмотря на постоянное развитие и совершенствование методов кинематического синтеза плоских рычажных механизмов, не существует единого подхода к решению данной задачи. Известные графические методы [5] эффективны только для простейших плоских рычажных механизмов и практически не применимы для многозвенных механизмов. Графоаналитические методы [6] кинематического синтеза разрабатываются под решение задач для конкретных рычажных механизмов и, как правило, не обладают высокой гибкостью в решении других задач. Известные аналитические методы [7 - 9] кинематического синтеза многозвенных рычажных механизмов в подавляющем большинстве достаточно сложны, громоздки и могут использовать оптимизационные алгоритмы, недоступные для подробного изучения. Поэтому разработка новых, наглядных и универсальных методов кинематического синтеза плоских рычажных механизмов, способных легко адаптироваться в специализированных математических пакетах и языках программирования, все еще представляет важную научную и практическую задачу.

Традиционно при решении задачи кинематического синтеза о воспроизведении заданной траектории движения точки плоского рычажного механизма предварительно решается прямая задача кинематики, по результатам которой формируется некоторая целевая функция. Как правило, в качестве такой целевой функции выступает невязка координат полученной расчетной траектории шатунной кривой некоторой точки с требуемой траекторией [10] или их среднеквадратичное отклонение [11]. Встречаются работы, в которых в качестве целевой функции выступает функция, учитывающая одновременно квадраты разниц между площадями описываемых областей, и длины желаемой и текущей траекторий [12]. Минимизация сформированной целевой функции достигается с помощью того или иного оптимизационного алгоритма за счет подбора рациональных длин подвижных звеньев, а в некоторых случаях и координат размеров стойки. Используемые для решения прямой задачи кинематики классические методы, в подавляющем большинстве основаны на методе замкнутых векторных контурах Зиновьева [13, 14] и требуют значительных математических выкладок. Но, как показывает практика [15] чем меньшее число аналитических выражений будет заложено в математическую модель механизма, тем более эффективно происходит поиск оптимального решения при его кинематическом синтезе.

Аналитический вывод формулы пересечения двух отрезков

Авторы: Котов А.В.

Разбирая как-то на днях свои бумажные записи, я наткнулся на вывод аналитического выражения для определения радиус-вектора точки пересечения двух отрезков. Данную итоговую формулу я представил в своей работе «Аналитический способ определения особых точек при исследовании плоских рычажных механизмов сложной структуры» на МНТК в 2025 году.

Задача решалась в рамках необходимости проведения силового анализа плоских рычажных механизмов сложной структуры с помощью особых точек (точек Ассура). Вывод формулы тогда в моей статье, ввиду ограничения по объему работы, не приводился. И я, честно говоря, уже забыл о ней.

Но вот, освежив немного память и разобрав записи, я решил выложить этот вывод у себя на блоге, чтобы он остался навсегда и не затерялся в стопке залежавшихся бумаг на полке.

Расчетная схема к выводу аналитической формулы для нахождения точки пересечения двух отрезков приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Расчетная схема для нахождения точки пересечения

Для вывода аналитического выражения нам понадобятся две формы записи уравнений прямой из аналитической геометрии.

Метод обратного кинематического синтеза: как все начиналось #2

Авторы: Котов А.В.

После того как я вооружился несколькими оптимизационными алгоритмами (о чем я рассказывал в первой части), я приступил к непосредственному изучению предметной области. Начал, естественно, с классики – монументального труда Артоболевского И.И. «Синтез плоских механизмов» (М., 1959). Затем перешел к современным научным работам.

Рисунок из открытых источников

В результате я увидел, что в зависимости от задачи, решение идет по разным направлениям: кинематический синтез, динамический синтез и другие. Задач оказалось очень много, охватить все не представлялось возможным. Поэтому я решил начать с малого – с кинематического синтеза.

🎯 Постановка задачи

Из всего многообразия задач меня заинтересовал класс задач о воспроизведении заданной траектории какой-либо точки выходного звена механизма.

Алгоритм решения таких задач выглядит довольно просто: описывается кинематика механизма; определяется траектория для интересующей точки; она сравнивается с заданной траекторией; в качестве целевой функции принимается отклонение этих траекторий; задача решается численно с помощью оптимизационного алгоритма за счет изменения длин звеньев и координат опор.

Таких задач оказалось достаточно много, что говорит о высоком научном интересе к ним. Подходы к решению различаются и связаны с вычислением функциональной зависимости между расчетной и заданной траекториями. Я изучил материал и начал размышлять, что можно предложить нового в этом направлении.

Как я защитил свои формулы от редакторской правки

Авторы: Котов А.В.

К написанию данной заметки меня подтолкнула моя последняя публикация в журнале из списка ВАК – «Оптимизационный синтез плоских рычажных механизмов по углу давления».

Как вы уже знаете, при описании плоских рычажных механизмов я использую две математические модели, построенные на основе векторных величин или комплексных чисел. В моделях с векторами при описании кинематики или проведении силового анализа я часто применяю различные векторные операции – от векторного произведения до двойного векторного. Эти операции требуют строгой математической записи, и традиционно в качестве знака векторного умножения я использовал символ «×» (крестик). Во всех моих предыдущих работах, включая последнюю статью, применялось именно это обозначение.

Проблема: редакторская правка, которая меняет смысл

Однако практика показывает, что символ «×» иногда ошибочно воспринимается редакциями журналов как обычное умножение. В результате при подготовке публикации его заменяют на точку «·» или вовсе убирают из формулы. В этом случае математический смысл выражения полностью теряется, и расчет по формуле становится невозможным.

Я уже знаком с этой особенностью, поэтому всегда оставляю для редакции комментарий (в письме или на сайте электронного журнала) с просьбой не вносить изменения в определенные формулы.

Но, во-первых, не все журналы присылают рукопись на финальную вычитку. А во-вторых, если работа отправлена на конференцию, вычитка вообще не предусмотрена, а правки вполне могут быть.

Метод обратного кинематического синтеза: как все начиналось #1

Авторы: Котов А.В.

Одна из ключевых глав моего диссертационного исследования посвящена разработке нового метода синтеза плоских рычажных механизмов. Казалось бы, что здесь можно придумать нового? Ведь тема изучена вдоль и поперек.

Действительно, если проанализировать современные научные работы, большинство решений в этой области в настоящее время сводится к совершенствованию уже существующих оптимизационных алгоритмов. Исследования движутся в направлении ускорения поиска экстремума целевой функции и повышения точности для многоовражных функций. Но по сути - это эволюция инструмента, а не изменение подхода.

Долгое время я не знал, как подступиться к этой теме, откладывая ее на потом. Но время шло, и нужно было что-то делать.

⚙️ Начало пути: погружение в оптимизацию 

Я начал с анализа существующих оптимизационных алгоритмов, надеясь предложить что-то новое или усовершенствовать старое. Благо, определенные навыки программирования у меня были — писать и читать алгоритмы я умею.

Как вы, наверное, заметили, все свои расчеты я веду в математическом пакете PTC MathCAD. Этот программный продукт обладает встроенными функциями для поиска экстремума — minimize() и maximize(). Работа с ними довольно проста и интуитивно понятна. Я уже решил с их помощью несколько практических задач. Однако эти функции представляют собой «черный ящик» - без возможности вмешательства в процесс поиска решения и влияния на него (за исключением выбора метода: квазиньютоновский или сопряженных градиентов).

Optimization synthesis of flat lever mechanisms by pressure angle

Authors: Kotov A.V., Krol D. G., Ph. D. in Phys. And Math., Assoc. Prof.

This article is a translation of the original work of the same name, which was written in Russian and published in a peer-reviewed journal. I decided to prepare and publish its English version for several reasons. First, science and engineering thinking have no language barriers. Publishing a translation is a step towards drawing attention to my research from a wider audience, including foreign colleagues, engineers and researchers who may find the proposed method useful. Second, publishing the article in English helps increase the visibility of the blog itself in foreign search engines. This means that my developments and findings are more likely to reach those who truly need them. I am open to discussion, feedback and professional dialogue with anyone who finds the topic of my research relevant. I will be glad if this material proves useful beyond the Russian-speaking audience.

Introduction. The problem of ensuring high efficiency and reliability of lever mechanisms is directly related to minimizing losses in their kinematic pairs, which, in turn, depend on the pressure angle [1, 2]. Exceeding the pressure angle beyond the recommended optimal value leads to an increase in friction losses and radial loads in the joints of the lever mechanism, which results in increased wear, jamming, and a decrease in the overall efficiency of the mechanism [3].

Traditionally, the synthesis of mechanisms based on the pressure angle is classified as a kinematic design task and is solved using graphical or analytical methods, which include constructing position and velocity plans [4 – 6]. Such synthesis can precede force analysis and provide additional qualitative and quantitative assessment of the potential force loading of the mechanism under study. However, formulating and solving this problem often requires cumbersome calculations and graphical constructions, which complicates the possibility of algorithmization and optimization [7].

The application of vector analysis or complex number theory for describing the kinematics of planar lever mechanisms is a well-established and effective approach [8, 9]. It allows for uniform, compact, and minimal analytical expressions to calculate the positions and velocities of all characteristic points and links of the mechanism. At the same time, the potential of vector analysis and complex numbers for solving kinematic synthesis problems, in particular optimization of pressure angles in joints, has not been fully explored. In this regard, the development of a methodology for the rapid assessment of pressure angles at the stage of mathematical modeling, based on this apparatus, retains its scientific and practical relevance.