Матричная форма комплексных чисел: ожидание и реальность

Авторы: Котов А.В.

Работая над конкретной темой научного исследования, мы обычно ищем информацию в смежных дисциплинах и редко заглядываем в области, которые кажутся далекими. А зря: иногда идея, родившаяся и обкатанная в одной науке, может быть успешно перенесена в другую – адаптирована, переосмыслена и получить совершенно неожиданное развитие.

В этом посте я хочу поделиться таким опытом. Отчасти он оказался неудачным, но я считаю его не менее полезным.

Отправная точка: комплексные числа в механике

Речь пойдет о комплексных числах, а точнее – об еще одной форме их представления, матричной. Дело в том, как вы уже должны знать, мне удалось применить теорию комплексных чисел к аналитическому исследованию и синтезу плоских рычажных механизмов. Это вылилось в целый ряд научных публикаций, с которыми можно ознакомиться на страницах моего блога, а также в профилях eLibrary и Google Академии.

Возможность эффективного применения комплексных чисел стала для меня открытием и заставила глубже погрузиться в их теорию. В университете эта тема прошла для меня почти незаметно, а практического применения в механике и машиностроении я до того момента не встречал. Так что углубление в теорию позволило освежить знания, разобраться в деталях и почерпнуть много нового. И вот изучая материалы по комплексным числам, я наткнулся на их матричную форму представления.

Почему это показалось перспективным

В моем арсенале уже было два метода математического моделирования плоских рычажных механизмов: на основе векторных величин и на основе комплексных чисел. Матричная форма теоретически сулила возможность разработать элегантный переход между этими моделями – своего рода гибрид двух подходов или переходный вариант моделирования.

Для обозначения матричной формы я заранее придумал использовать двойное нижнее подчеркивание для соответствующих радиус-векторов в потенциальной математической модели, чтобы не путать с уже принятыми обозначениями: верхнее подчеркивание – для векторных величин, нижнее – для комплексных чисел.

Как устроена матричная форма

Рассмотрим форму на конкретных примерах, без углубления в теорию. Пусть заданы два радиус-вектора комплексных чисел:

где j – мнимая единица.

Их матричная запись представляет собой матрицу размерностью 2×2, в которой по главной диагонали записываются действительные части, а по побочной – мнимые с разными знаками. Мнимая единица при этом опускается:

Матричная форма поддерживает все элементарные операции с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление:

Модуль комплексного числа находится через определитель матрицы и извлечение квадратного корня:

Очень элегантно работают комплексно-сопряженные числа. Чтобы перейти к ним, достаточно транспонировать матрицу:

Немного сложнее обстоит дело с выделением аргумента комплексного числа. Из всех проработанных мною способов мне понравится вариант через арккосинус: из матричной формы выделяем действительную часть и делим ее на модуль, не обращаясь к ячейкам матрицы напрямую. Для этого используется след матрицы – сумма чисел на главной диагонали:

где tr() – оператор вычисления следа матрицы (суммы числе, расположенных по главной диагонали).

Я вообще не люблю обращаться к отдельным ячейкам матрицы и предпочитаю, где это возможно, обходиться стандартными математическими операциями.

Адаптация оператора поворота

Отдельно стоит остановиться на том, как в матричной форме выглядит операция, которую я постоянно использую в своих моделях, – поворот вектора в форме комплексного числа на заданный угол с одновременным изменением длины (метод преобразования координат в неизменном базисе). В комплексной форме это выражение имеет вид:

где α – угол поворота, r2 – новая длина вектора.

Чтобы адаптировать его под матричную форму, нужно комплексное число в показательной форме записать как обычную матрицу поворота на плоскости:

Это, пожалуй, одно из главных достоинств матричной формы: поворот здесь предстает не как «мнимая экспонента», а как знакомая геометрическая матрица. В результате адаптированное выражение для поворота радиус-вектора принимает вид:

Данную функцию, по аналогии с моими работами, удобно представить в виде следующей пользовательской функции при работе с комплексными числами в матричной форме представления (название пока предварительное):

Здесь стоит отметить важный момент: поскольку и матрица поворота, и матричная форма комплексного числа имеют размерность 2×2, то порядок умножения не имеет значения – результат будет одинаковым.

В этом отношении матричная форма ведет себя так же, как и комплексная запись: операции коммутативны, и выражение можно записывать в удобном порядке. То есть адаптация возможна и даже геометрически наглядна – матрица поворота выглядит привычнее мнимой экспоненты (кого-то это может пугать), хотя принципиального выигрыша в эффективности по сравнению с исходным выражением это не дает.

Главный недостаток

Используя матричную форму, можно решать задачи, применяя все стандартные операции с комплексными числами. Однако для обратного перехода к комплексному или векторному виду требуется выполнить ряд дополнительных операций: число с главной диагонали дает действительную часть, а число с побочной – мнимую. Кажущаяся избыточность матричной записи (два дополнительных элемента, без которых, однако, не обойтись) и необходимость этих операций в совокупности и стали главным недостатком данной формы представления комплексных чисел, который меня не устроил.

Честный вывод

Повозившись с матричной формой, я не нашел преимуществ при ее применении конкретно к моим задачам. Как интересный инструмент – да. Как эффективный инструмент – нет. Такая форма представления мне видится полезной в тех случаях, когда математические пакеты или языки программирования не умеют работать с комплексными числами напрямую. Тогда матричное представление может стать выходом и рассматриваться как эффективный инструмент. Но стандартные средства, которыми обладает, например, PTC MathCAD, выглядят более эффективно и доступно.

Не нашел я и эффективного применения такого подхода к анализу плоских рычажных механизмов. Сделать это, конечно, можно, но это уже не выглядит так элегантно, наглядно и доступно. Переход между векторной и комплексной моделями получался, но напоминал скорее грубо сколоченный мостик, чем органичную связь. Поэтому такая форма была интересна для изучения и расширения кругозора – но не более того. Опыт оказался полезен, изучен, и, возможно, когда-нибудь мне придет в голову, как применить его на практике эффективнее.

Взгляд со стороны математика

Чтобы не оставаться в замкнутом кругу собственных выводов, я решил обратиться к специалисту. На странице математического блога автора Eugene Karataev я задал вопрос к посту «Матричное представление комплексных чисел» – о том, есть ли практическое применение матричной формы представления комплексных чисел в задачах физики и механики.

Ответ оказался тоже отрицательным. Развернутый ответ математика на мой вопрос можно прочесть в его посте «О пользе матричного представления» – рекомендую ознакомиться, если тема вам интересна. Отдельно хочу поблагодарить автора блога за то, что он лично откликнулся на вопрос и посвятил ему отдельный развернутый материал.

Вместо заключения

Пока матричную форму представления комплексных чисел берем в перспективе на вооружение, но откладываем в сторону – помним о ней. Быть может, применение будет найдено.

Если вы знаете или можете предложить варианты практического применения матричной формы комплексных чисел – пишите в комментариях, обсудим.

Любое цитирование текста, использование тезисов или иллюстраций из данной статьи допускается только с указанием обязательной ссылки на первоисточник. Пожалуйста, уважайте авторские права и интеллектуальную собственность.

Для цитирования данной работы | To cite this work:

Котов, А. В. Матричная форма комплексных чисел: ожидание и реальность / А. В. Котов // Vectormethod.blogspot.com [Электронный ресурс]. – 2020. – Режим доступа: https://vectormethod.blogspot.com/2026/10/matrichnaya-forma-kompleksnyh-chisel-ozhidanie-i-realnost.html. – Дата доступа: .

Kotov A. V. Матричная форма комплексных чисел: ожидание и реальность [Matrix Form of Complex Numbers: Expectation and Reality]. Vectormethod.blogspot.com [Electronic resource]. – 2020. – Mode of access: https://vectormethod.blogspot.com/2026/10/ matrichnaya-forma-kompleksnyh-chisel-ozhidanie-i-realnost.html. – Date of access: (in Russ.).