Исследование кинематики плоских рычажных механизмов с применением теории комплексных чисел

Авторы: Котов А.В.

Научный руководитель: Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Актуальность. В современных условиях жесткой конкуренции в машиностроении сокращение сроков конструкторских и исследовательских работ возможно только за счет внедрения передовых методов исследования и анализа механических систем на основе математического и компьютерного моделирования. Так для решения задач кинематического анализа плоских рычажных механизмов представляется возможным использовать комплексные числа в тригонометрической или показательной форме [1]. Благодаря этому основные соотношения между элементами рычажного механизма записываются по обычным алгебраическим правилам на основе геометрического определения механизма, без использования особых условий и действий над ними.

Цель работы. Представить аналитический метод для проведения кинематического анализа плоских рычажных механизмов, основанный на методе преобразования координат с применением теории комплексных чисел. Показать возможности применения данного метода при исследовании кинематики плоских рычажных механизмов, а также его определенные преимущества по сравнению с другими аналитическими методами исследования.

Анализ полученных результатов. На рис. 1 приведена векторная интерпретация кинематической схемы плоского рычажного механизма на примере шарнирного четырехзвенника, расположенного в комплексной плоскости. Положение каждого вектора задается в соответствующей полярной системе координат, связанной с его началом, и определяется длиной (модулем) и углом наклона, положительное значение которого отсчитывается от горизонтальной оси в направлении против хода часовой стрелки, а отрицательное – в противоположном направлении.

Рис. 1. Кинематическая схема плоского рычажного механизма и алгоритм проведения его кинематического анализа

Представленный аналитический метод кинематического анализа плоских рычажных механизмов с использованием теории комплексных чисел основан на методе преобразования координат. Как известно в методе преобразования координат используются такие основные математические операции как вращение и перемещение векторов [2]. Осуществление данных операций возможно также и с комплексными числами, для которых операции вращения и перемещения являются эквивалентными простым алгебраическим действиям – сложению (вычитанию) и умножению (делению). При использовании векторов комплексных чисел, их сложение и вычитание проводится с помощью алгебраической формы записи для прямоугольной (декартовой) системы координат, а умножение, деление и дифференцирование – с помощью показательной формы записи для полярной системы координат. Алгоритм проведения кинематического анализа рассматриваемого рычажного механизма методом преобразования координат с использованием теории комплексных чисел в функциях положения точек и звеньев приведен в правой части на рис. 1.

Проверка адекватности представленного кинематического анализа методом преобразования координат с использованием теории комплексных чисел проводилась с помощью известных аналитических методов [3], которая показала полное совпадение полученных результатов расчета с проверяемыми значениями. Предложенный метод кинематического анализа с применением теории комплексных чисел может найти свое практическое применение, как в учебной, так и в инженерной практике.

Заключение. Предложенный метод преобразования координат с применением теории комплексных чисел для проведения кинематического анализа плоских рычажных механизмов исключил необходимость составления и решения громоздких систем тригонометрических уравнений, получаемых традиционными аналитическими методами. Данный метод легко поддается формализации и алгоритмизации в современных математических пакетах и языках программирования, позволяя в короткие сроки проводить всесторонний кинематический анализ проектируемых плоских рычажных механизмов, с возможностью проведения их последующего оптимизационного синтеза.

Благодарность. Выражаю признательность и благодарность научному руководителю Кролю Д.Г, к.ф.-м.н., доценту, за консультацию и помощь при проведении данного исследования.

Список литературы

1. Wilson, Charles E. Sadler, J. Peter. Kinematics and Dynamics of Machinery. 3rd Edition. Pearson Education Limited, 2013. - 848 p.

2. Котов, А.В. Анализ уравновешенности кривошипно-ползунного механизма привода режущего аппарата методом векторов главных точек // Тракторы и сельхозмашины. - 2024. - Т. 91. - №2. - C. 167-180. doi: 10.17816/0321-4443-606653

3. Теория механизмов и машин. Анализ, синтез, расчет / Ю.Ф. Лачуга, А.М. Баусов, А.Н. Воскресенский, А.М. Абалихин. – 3-е изд. – М.: ИКЦ Колос-с, 2020. – 416 с.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Для цитирования данной работы:

Котов, А. В. Исследование кинематики плоских рычажных механизмов с применением теории комплексных чисел [Электронный ресурс] / А. В. Котов ; науч. рук. Д. Г. Кроль // Студенческий научный движ : материалы научно-технической конференции аспирантов, магистрантов, студентов, Гомель, 25 марта 2025 г. / под общ. ред. д.т.н., проф. А. Б. Невзоровой. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2025. – С. 18–20.

Ссылка на оригинальную работу в формате *.pdf