Возможность применения теории комплексных чисел к решению инженерных задач кинетического анализа плоских рычажных механизмов

Авторы: Котов А.В.

Многим из Вас, я надеюсь, приходилось сталкиваться с курсом «Теория механизмов и машин», а может даже делать соответствующую курсовую работу. В мое время для выполнения такой работы студентам выдавался номер варианта, с которым он выходил в коридор, где висел огромный стенд с исходными данными, в том числе и с графической схемой рычажного механизма. Переписав всю необходимую информацию, студент пропадал, и если говорить честно, то все чем он потом занимался – это поиск того, у кого можно было заказать данную курсовую работу.

Несмотря на то, что основы курса «Теория механизмов и машин» можно сказать уходят в глубь веков, если твоего механизма не было разобрано в доступной учебной литературе, то было трудновато, мягко говоря, самостоятельно сделать такую курсовую работу. Сегодня, как я узнал, студенты при прохождении курса «Теория механизмов и машин» уже не делают курсовую работу, ограничиваясь лишь выполнением расчетно-графических работ. Но если вдруг им придется решать какую-нибудь задачу, связанную с расчетом рычажных механизмов, то мы обнаружим, что каких-либо существенных сдвигов в помощи решения этих задач в учебной литературе до сих пор не появилось. Складывается впечатление, что методы расчета рычажных механизмов остались все на том же уровне, а наука исчерпала себя в этом направлении и не может предложить что-то нового, современного и эффективного.

Но что в этом случае делать машиностроению, в котором реальные рычажные механизмы нашли широкое применение, а для их рационального проецирования требуется проведение соответствующих расчетов. К сожалению, здесь работает всем известный принцип: спасение утопающих – дело рук самих утопающих. Поэтому если наука не может прийти на помощь машиностроению в плане разработки современных методов расчета рычажных механизмов, то эту задачу инженерам приходится решать своими силами, путем разработки собственных методик и алгоритмов.

Основные критерии, по которым инженеры оценивают предлагаемые и разрабатываемые новые методы расчета, в том числе и рычажных механизмов это: доступность; наглядность; эффективность; универсальность; возможность формализации и алгоритмизации; способность к реализации в современных математических пакетах и языках программирования. Если предлагаемый или разрабатываемый метод максимально удовлетворяет всем выдвинутым требованиям, то это позволяет инженеру более рационально и с пользой использовать свое рабочее время, а также сохранить свои силы и нервы.

За время своей работы на трех промышленных предприятиях в том числе флагманах белорусского и российского сельскохозяйственного машиностроения «Гомсельмаш» и «Ростсельмаш», а также постоянным изучением соответствующих тематических материалов, я встретил только один метод расчета рычажных механизмов, которую уже более 20 лет и которая до настоящего времени эффективно применяют в НТЦК ОАО «Гомсельмаш». Данный метод исследования рычажных механизмов основан на векторном методе преобразования координат в неизменном базисе, подробному описанию которого посвящено несколько десятков научных работ, в том числе и за моим авторством. Долгое время я считал, что достойного соперника данному методу я уже не встречу в своей практике. А если отсутствует соперник, то, как правило у любого метода нет дальнейшего развития, нет конкуренции, что в конечном итоге приводит к застою и забвению.

«Научные достижения не должны оставаться красивой витриной. Нельзя допустить чтобы труды наших ученых стояли на полке или пылились в библиотеках. Их уже сейчас ждут на производствах… Именно прикладной характер научных исследований определяет надежность и процветание нашего общего дома – Беларуси!»

А.Г. Лукашенко

И вот, приступая к написанию 1-ой главы диссертации, я подошел к изучению материалов зарубежных авторов по современному состоянию методов синтеза и анализа рычажных механизмов и обратил внимание, что многие из них используют теорию комплексных чисел. Этот подход мне показался достаточно необычным, с учетом того, что в русскоязычных научных работах он представлен весьма скудно, буквально 2-3 работами, по сути, дублирующие выкладки зарубежных авторов. И я решил немного разобраться в данном методе, с надеждой почерпнуть что-то нового для себя.

Как известно комплексное число – это двумерное число, которое состоит из действительной и мнимой части. Но физически данное число представить в реальной жизни не представляется возможным – это все равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Любой двумерный геометрический вектор на комплексной плоскости может быть представлен в виде вектора комплексного числа с использованием одной из следующих трех форм записи (см. рисунок 1):

где j – мнимая единица; rx и ry – действительные числа соответственно действительной и мнимой части комплексного числа; r – модуль комплексного числа; q – аргумент комплексного числа, представляющий собой угол наклона к действительной оси комплексной плоскости, рад.

Рисунок 1 – Представление вектора комплексного числа на комплексной плоскости

Первая алгебраическая форма представления комплексного числа в выражении (1) соответствует прямоугольной (декартовой) системе координат, а вторая и третья – полярной системы координат. Причем вторая форма записи носит название тригонометрической, третья – показательной, а переход из одной формы представления в другую осуществляется с помощью известной формулы Эйлера. Переход же между прямоугольной (декартовой) и полярной системами координат осуществляется с помощью простейших математических функций:

Применение комплексных чисел в различных областях известно достаточно давно, в частности в электротехнике, где при расчете электрических цепей для представления напряжения, тока, сопротивления, а также всех зависимых от них величин, изменяемых по закону синусоидальной функции, используют теорию комплексных чисел. Именно из электротехники я позаимствовал для обозначения вектора комплексного числа в выражении (1) символ нижнего подчеркивания, которое будет использовано и далее. Это позволяет отличать вектор комплексного числа от его модуля, а также не создает разночтение с обозначением обычных векторных величин, которые я привык использовать в своих работах.

Но вернемся к зарубежным работам по кинематическому анализу с применением комплексных чисел. Зарубежные авторы при решении задачи о положениях плоского рычажного механизма каждое его звено на плоскости представляют соответствующим относительным вектором комплексного числа в показательной форме. Таким образом, формируется система уравнений по аналогии с методом замкнутых векторных контуров, которая затем при решении задачи о скоростях и ускорениях дважды дифференцируется по принятой обобщенной координате. Общий вид таких полученных уравнений с использованием векторов комплексных чисел в показательной форме можно представить как:

Для решения составленных уравнений каждый член выражений умножается на комплексную экспоненту с отрицательным аргументом для одной из искомых величин (углов, аналогов скоростей или ускорений), добиваясь того, чтобы только в действительной или только в мнимой части выражения оставалась одна неизвестная. После чего применяют формулу Эйлера и выделяют отдельно действительную и комплексную части, получая тем самым аналитические уравнения, которые полностью совпадают с известными уравнениями проекций, представленными в классической учебной литературе. Поэтому такой подход применения теории комплексных чисел интересен лишь с точки зрения начальной постановки решаемой задачи и частично со способами решения полученных систем уравнений. Однако с практической точки зрения он не удовлетворяет озвученным выше инженерным критериям для разрабатываемых методов расчета рычажных механизмов.

Как я уже упоминал существует оригинальный векторной метод исследования рычажных механизмов, основанный на методе преобразования координат в неизменном базисе. В данном методе используются такие основные математические операции как вращение и перемещение векторов. Осуществление указанных операций возможно также и с комплексными числами, для которых операции вращения и перемещения являются эквивалентными простым алгебраическим действиям – сложению (вычитанию) и умножению (делению):

Выражение (3) можно использовать для случая, когда при вращении нет никаких изменений в длине (модуле) нового комплексного вектора, а выражение (4) – когда есть изменение в длине нового комплексного вектора (увеличение или уменьшение). При этом коэффициент r является коэффициентом растяжения (сжатия) длины нового вектора комплексного числа. Графическое пояснение к операции поворота вектора комплексного числа с изменением и без изменения его длины показано на рисунке 2.

а)                                                                            б)
Рисунок 2 – Графическое пояснение к операции поворота вектора комплексного числа: а – без изменения длины; б – с изменением длины

Выражения (2) - (4) являются базовыми для описания кинематики любого плоского рычажного механизма методом преобразования координат в неизменном базисе с помощью теории комплексных чисел. Покажем применение теории комплексных чисел при проведении кинематического анализа плоского рычажного механизма данным методом, кинематическая схема которого приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Кинематическая схема плоского рычажного механизма

Решение задачи о положениях можно представить в виде следующего простого алгоритма с применением комплексных чисел:

Решение задачи об аналогах линейных скоростей и ускорений характерных точек или звеньев рычажного механизма решается путем двойного дифференцирования соответствующего радиус-вектора комплексного числа:

Для решения задачи об аналогах угловых скоростей и ускорений характерных звеньев рычажного механизма необходимо воспользоваться свойством векторного и скалярного произведения, реализуемого с помощью векторов комплексных чисел. Если в механике векторное произведения двух векторов находят с помощью определенных математических вычислений, то в теории комплексных чисел аналогом для данных математических операций служит алгебраическая операция умножения с комплексно-сопряженным числом. Так, если первое из двух умножаемых комплексных чисел представить в виде комплексно-сопряженного числа, то действительная часть полученного произведения с учетом алгебраического знака, будет представлять значение скалярного произведения двух векторов, заданных этими числами. Мнимая же часть, также с учетом величины алгебраического знака, будет представлять собой значение векторного произведения этих же двух векторов.

Используя вышеописанное свойство векторных комплексных чисел, аналоги угловых скоростей и ускорений характерных звеньев плоского рычажного механизма можно определить как:

где ri и ri* – вектора комплексно-сопряженных чисел, т.е. пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями.

Если правильно использовать указанные формы записи вектора комплексного числа, а также соблюдать все математические правила работы с ними, то любое действительное число, которое не содержит мнимую единицу j, будет представлять собой проекцию на ось X правой декартовой системы координат, а наличие комплексной единицы будет указывать проекцию на ось Y. Поэтому для вывода результатов расчета с векторами комплексных чисел можно использовать следующую универсальную форму записи:

Таким образом, с помощью выражений (5) - (13) полностью описана кинематика рассматриваемого плоского рычажного механизма, т.е. решены задачи о положениях, скоростях и ускорениях.

В перспективе применение теории комплексных чисел не ограничивается только кинематическим анализом. Возможность находить с помощью векторов комплексных чисел результатов скалярного и векторного произведения открывает новые возможности для проведение силового анализа и анализа уравнения движения плоского рычажного механизма при проведении его динамического исследования.

На сегодняшний день с помощью теории комплексных чисел совместно с методом преобразования координат в неизменном базисе проведена проверка кинематических параметров различных плоских рычажных сельскохозяйственных машин, например механизма подъема наклонной камеры зерноуборочного комбайна. Полученные результаты расчета полностью совпали с ризалитами полученными ранее с помощью других методов исследования, что еще раз подтверждает жизнеспособность применения теории комплексных чисел к исследованию кинематических параметров плоских рычажных механизмов.

Выводы

Предложенный метод преобразования координат в неизменном базисе с применением теории комплексных чисел для проведения кинематического анализа плоских рычажных механизмов исключает необходимость составления и решения громоздких систем уравнений, получаемых традиционным методом замкнутых векторных контуров. Данный метод легко поддается формализации и алгоритмизации в современных математических пакетах и языках программирования, позволяя в короткие сроки проводить всесторонний кинематический анализ проектируемых плоских рычажных механизмов, с возможностью проведения их последующего оптимизационного синтеза.

Однако представленное применение теории комплексных чисел в кинематическом анализе рычажных механизмов ограничено только решением двумерных задач, т.к. для решения пространственных задач необходимо использовать более сложные формы записи комплексных чисел.

Список литературы

1. Wilson, Charles E. Sadler, J. Peter. Kinematics and Dynamics of Machinery. 3rd Edition. Pearson Education Limited, 2013. – 848 p.

2. Abhary, K. A unified analytical parametric method for kinematic analysis of planar mechanisms. International Journal of Mechanical Engineering Education. – 2022. – Vol. 50(2). – Pp. 389-431.

3. Matsyuk, I. N., Shlyakhov, E., Zyma, N. V. Study of Planar Mechanisms Kinetostatics Using the Theory of Complex Numbers with MathCAD PTC. Mechanics, Materials Science & Engineering Journal. – 2017. – Vol. 8, hal-01508541.

4. Мацюк, И. Н. Кинематика плоских механизмов в программе MathCAD с использованием теории комплексных чисел / И. Н. Мацюк, Э. М. Шляхов, Н. В. Зима // Развитие информационно-ресурсного обеспечения образования и науки в горно-металлургической отрасли и на транспорте 2014 : Сборник научных трудов международной конференции. – Днепропетровск: НГУ, 2014. – С. 407-412.

5. Котов, А. В. Кинематический и силовой анализ механизма подъема наклонной камеры зерноуборочного комбайна с применением теории комплексных чисел / А. В. Котов, Д. Г. Кроль // Конструирование, использование и надежность машин сельскохозяйственного назначения : сборник научных работ. – 2025. – № 1(24). – С. 40-48. – EDN JRJHUN.

6. Котов, А. В. К вопросу анализа уравновешенности плоских рычажных механизмов с помощью теории комплексных чисел / А. В. Котов, Д. Г. Кроль // Развитие машиностроительной отрасли и подготовка высококвалифицированных кадров новой формации (состояние, проблемы и пути их решения) : труды междунар. науч.-практич. конф., Астана, 30–31 мая 2025 года. / КАТИУ имени С. Сейфуллина. – Астана, 2025. – С. 31-33.

7. Котов, А. В. Исследование кинематики плоских рычажных механизмов с применением теории комплексных чисел / А. В. Котов // Студенческий научный движ : материалы науч.-технич. конф. аспирантов, магистрантов, студентов, Гомель, 25 марта 2025 г. / ГГТУ имени П.О. Сухого. – Гомель, 2025. – С. 18-20. – EDN GLNUJM.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Для цитирования данной работы:

Котов, А. В. Возможность применения теории комплексных чисел к решению инженерных задач кинетического анализа плоских рычажных механизмов / А. В. Котов // Vectormethod.blogspot.com [Электронный ресурс]. – 2020. – Режим доступа: https://vectormethod.blogspot.com/2025/07/vozmozhnost-primeneniya-teorii-kompleksnyh-chisel-k-resheniyu-inzhenernyh-zadach-kineticheskogo-analiza-ploskih-rychazhnyh-mekhanizmov.html. – Дата доступа: 08.08.2025.

Kotov A. V. Vozmozhnost' primeneniya teorii kompleksnykh chisel k resheniyu inzhenernykh zadach kineticheskogo analiza ploskikh rychazhnykh mekhanizmov [Possibility of application of the theory of complex numbers to the solution of engineering problems of kinetic analysis of flat lever mechanisms]. Vectormethod.blogspot.com [Electronic resource]. – 2020. – Mode of access: https://vectormethod.blogspot.com/2025/07/vozmozhnost-primeneniya-teorii-kompleksnyh-chisel-k-resheniyu-inzhenernyh-zadach-kineticheskogo-analiza-ploskih-rychazhnyh-mekhanizmov.html. – Date of access: 08.08.2025 (in Russ.)