Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент
Введение
Режим перевода наклонной камеры зерноуборочного комбайна в транспортное положение с навешенным адаптером отличается высокой нагруженностью всех элементов конструкции. Учитывая, что масса и положение центра тяжести навешиваемых адаптеров могут существенно изменяться в режиме эксплуатации, то важную роль имеют значения кинематических и силовых параметров механизма подъема наклонной камеры для последующих расчетов на прочность и жесткость несущих конструкций.
В настоящее время подавляющее большинство расчетов кинематического анализа плоских рычажных механизмов выполняется с помощью метода замкнутых векторных контуров Зиновьева [1]. Развитие компьютерной техники и появление мощных математических пакетов, в которых имеется возможность оперировать с комплексными числами, способствовало возрождению интереса к применению теории комплексных чисел для анализа плоских рычажных механизмов. Основные принципы применения теории комплексных чисел в кинематическом и силовом анализе плоских рычажных механизмов представлены в работах [2 - 6].
Цель исследования
Кинематический и силовой анализ плоского рычажного механизма на основе метода преобразования координат в неизменном базисе и теории комплексных чисел. Дать качественную оценку данного метода по сравнению с другими аналитическими методами исследования.
Постановка задачи
В качестве объекта исследования возьмем плоский рычажный механизм подъема наклонной камеры зерноуборочного комбайна с навешенным адаптером. Кинематическая схема данного механизма приведена на рисунке 1. Подъем механизма осуществляется двумя плунжерными гидроцилиндрами за счет поворота звена BOD вокруг точки O. Приведем массу наклонной камеры и массу навешиваемого адаптера к точкам звена BOD. Пусть в т. C сосредоточена масса наклонной камеры, а в т. D – масса адаптера. Используем метод преобразования координат в неизменном базисе и теорию комплексных чисел для получения кинематических и силовых параметров механизма.
1 – наклонная камера; 2 – зерноуборочный комбайн; 3 – адаптер
Рисунок 1 – Кинематическая схема механизма подъема наклонной камеры
Методы исследований
Метод преобразования координат. В основе данного метода находится способ представления двумерного вектора, лежащего на плоскости, в виде комплексного числа. Это позволяет перейти от алгебраических операций над векторами к соответствующим операциям над комплексными числами, сохранив при этом всю информацию присущую векторным величинам о длине и направлении. Применим аналитический метод преобразования координат в неизменном базисе с использованием теории комплексных чисел. Вектор комплексного числа на комплексной плоскости представим в следующей форме:
где j – мнимая единица; r, rx и ry – соответственно модуль, действительная и мнимая части комплексного числа; q – аргумент комплексного числа, рад.
С целью исключения совпадения с обозначением обычных векторных величин в выражении (1) вектор комплексного числа здесь и далее будет обозначаться символ нижнего подчеркивания.
Основой метода преобразования координат в неизменном базисе является аналитическое преобразование координат одного вектора в другой, путем поворота исходного вектора на некоторый угол с изменением или без изменения его длины [7, 8]. Для вектора комплексного числа (см. рисунок 2) данное преобразование можно представить в виде следующего выражения:
а) б)
Рисунок 2 – Графический поворот вектора в комплексной плоскости:
a – без изменения длины; б – с изменением длины
С целью автоматизации математических расчетов при преобразовании вектора комплексного числа, а также для повышения простоты и наглядности данного преобразования введем функцию пользователя TurnRI. Тогда выражение (2) примет вид:
где r – исходный поворачиваемый вектор комплексного числа; a – угол поворота исходного вектора комплексного числа, значение которого принимается со знаком «+» при осуществлении поворота против хода часовой стрелки и со знаком «-» при повороте по ходу часовой стрелки; L – длина нового вектора комплексного числа.
Кинематический анализ. Рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы, и положение всех характерных точек механизма определяется положением входного звена – длиной гидроцилиндра, которая в свою очередь определяется ходом s плунжера. Данный ход принят в качестве обобщенной координаты при аналитическом описании кинематики механизма подъема наклонной камеры. Входными параметрами являются координаты неподвижных точек, а также длины звеньев и углы на жестких звеньях.
Задаемся векторами комплексных чисел для неподвижных шарниров механизма в алгебраической форме для прямоугольной системы координат:
Полную длину гидроцилиндра между точками его крепления в процессе подъема наклонной камеры можно представить как:
где LBA – длина гидроцилиндра в сомкнутом состоянии (начальная длина).
Выражением (7) получен угол αBOA с вершиной в т. O с использованием двух известных длин звеньев LOB и LBA, а также модуля вектора звена OA, определяющего длину между двумя точками O и A.
Выражением (8) получен вектор звена OB путем поворота вектора звена OA на угол αBOA против хода движения часовой стрелки (перед углом стоит знак «+») с изменением его длины на заданную длину LOB.
Необходимо отметить, что положение всех подвижных точек или звеньев описываемого механизма является функцией хода плунжера гидроцилиндра s, т.е. функцией от обобщенной координаты.
При решении второй и третьей задачи кинематического анализа механизма, определение скоростей и ускорений характерных точек удобно представлять через аналог скорости и аналог ускорения. Известно, что аналог скорости – это первая производная радиус-вектора точки по обобщенной координате, а аналог ускорения – вторая производная [1]. Для векторов комплексных чисел аналог скорости и аналог ускорения представим в виде:
Таким образом, система уравнений (4) – (14) позволяет определить все кинематические характеристики характерных точек механизма.
Силовой анализ. Для определения усилия в гидроцилиндре подъема наклонной камеры воспользуемся аналитическим методом силового анализа, основанным на принципе возможных перемещений [1, 8]. Так как механизм имеет одну степень свободы, воспользуемся тождественным методом возможных скоростей. Для нашего случая, принцип возможных скоростей через векторы комплексного числа имеет следующий вид:
где Fi – вектор комплексного числа i-ой силы, действующей на механизм; vi – линейная скорость точки приложения Fi силы; Mk и wk – соответственно значение k-го приведенного момента и угловой скорости k-го звена с учетом алгебраического знака.
В выражении (15) используется операция умножения с вектором комплексно-сопряженного числа. Данная операция является тождественной операцией для скалярного или векторного произведения двух векторов, и будет использоваться при проведении силового анализа. Так, если представить первое из двух перемножаемых комплексных чисел в виде комплексно-сопряженного числа, то действительная часть полученного произведения с учетом величины алгебраического знака будет представлять значение скалярного произведения этих двух векторов, а мнимая – значение векторного произведения, что можно в общем виде представить как:
где r1* – вектор комплексно-сопряженного числа.
Задаемся векторами комплексных чисел для веса наклонной камеры и адаптера в алгебраической форме для прямоугольной системы координат:
где mC и mD – соответственно масса наклонной камеры и адаптера, кг; g – ускорение свободного падения, м/с2.
В соответствии с принципом возможных скоростей составим для рассматриваемого механизма следующее уравнение равновесия:
где Fgc – вектор комплексного числа усилия в гидроцилиндре, который можно представить в виде произведения его модуля и единичного вектора комплексного числа, вдоль которого данное усилие направлено:
Подставляя выражения (16) и (18) в (17), получим уравнение с одной неизвестной, которую можно легко выразить как:
Рассчитаем значения неизвестных реакции в неподвижных шарнирах:
Таким образом, используя принцип возможных скоростей с преобразованием комплексных чисел, достаточно просто и наглядно были найдены с помощью выражений (19) - (21) неизвестные реакции в неподвижных шарнирах механизма подъема наклонной камеры с навешенным адаптером.
Результаты и обсуждение
Результаты силового анализа для механизма подъема наклонной камеры зерноуборочного комбайна КЗС-10К с зерновой жаткой ЖЗК-9 представлены в таблице. Приведенные в таблице значения реакций указаны для одной стороны механизма подъема наклонной камеры. Расчет проведен для исходных данных: Ox=545 мм; Oy=1590 мм; Ax=165 мм; Ay=630 мм; LOB=1225 мм; LOС=830 мм; LOD=2060 мм; αВОС=22°; αВОD=35°; mC=905 кг; mD=2475 кг.
Таблица – Результаты силового анализа механизма подъема наклонной камеры
Полученные значения нагрузок для любого положения механизма подъема наклонной камеры, могут использоваться для последующих расчетов на прочность и жесткость элементов конструкций зерноуборочного комбайна.
Выводы
Представленный метод преобразования координат в неизменном базисе с применением теории комплексных чисел позволяет найти кинематические и силовые параметры механизма подъема наклонной камеры для всех его положений. Данный метод позволяет уменьшить количество уравнений, необходимых для кинематического и силового анализа. Метод содержит только элементарные операции сложения (вычитания) и умножения векторов комплексных чисел, легко поддается формализации и алгоритмизации в современных математических пакетах и языках программирования. Учитывая все вышесказанное, предложенный метод может найти свое эффективное применение, как в учебной, так и в инженерной практике при анализе различных плоских рычажных механизмов.
Список литературы
1. Артоболевский, И.И. Теория механизма и машин: учебник / И.И. Артоболевский. 4-е изд., перераб. и доп. / Репринтное воспроизведение издания 1988 г. – М.: Транспортная компания, 2023. – 640 с.
2. Wilson, Charles E. Sadler, J. Peter. Kinematics and Dynamics of Machinery. 3rd Edition. Pearson Education Limited, 2013. – 848 p.
3. Abhary, K.A unified analytical parametric method for kinematic analysis of planar mechanisms. International Journal of Mechanical Engineering Education. – 2022. – Vol. 50(2). – Pp. 389-431.
4. Котов, А.В. Исследование кинематики плоских рычажных механизмов с применением теории комплексных чисел // Студенческий научный движ : материалы научно-технической конференции аспирантов, магистрантов, студентов, Гомель, 25 марта 2025 г. [Электронный ресурс] / под общ. ред. д.т.н., проф. А. Б. Невзоровой. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2025. – С. 18–20.
5. Мацюк, И.Н. Кинематика плоских механизмов в программе MathCAD с использованием теории комплексных чисел / И. Н. Мацюк, Э. М. Шляхов, Н. В. Зима // Развитие информационно-ресурсного обеспечения образования и науки в горно-металлургической отрасли и на транспорте 2014 : Сборник научных трудов международной конференции. – Днепропетровск: НГУ, 2014. – С. 407-412.
6. Matsyuk, I.N., Shlyakhov, E., Zyma, N.V. Study of Planar Mechanisms Kinetostatics Using the Theory of Complex Numbers with MathCAD PTC. Mechanics, Materials Science & Engineering Journal. – 2017. – Vol. 8, hal-01508541.
7. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения. Теоремы. Формулы / Г. Корн, Т. Корн; [Пер. И. Г. Арамановича (ред. пер.) и др.]. - 6. изд., стер. – СПб. [и др.]: Лань, 2003. – 831 с.
8. Котов, А.В. Оптимизация параметров предохранительного элемента пальчикового механизма шнека жатки зерноуборочного комбайна // Тракторы и сельхозмашины. - 2023. - Т. 90. - №1. - C. 13-24. doi: 10.17816/0321-4443-114970.
Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.
Для цитирования данной работы:
Котов, А. В. Кинематический и силовой анализ механизма подъема наклонной камеры зерноуборочного комбайна с применением теории комплексных чисел / А. В. Котов, Д. Г. Кроль // Конструирование, использование и надежность машин сельскохозяйственного назначения : сборник научных работ. – 2025. – № 1(24). – С. 40-48. – EDN JRJHUN.
Kotov A. V., Kroll D. G. Kinematicheskiy i silovoy analiz mekhanizma pod"yema naklonnoy kamery zernouborochnogo kombayna s primeneniyem teorii kompleksnykh chisel [Kinematic and force analysis of the inclined chamber lift mechanism of a combine harvester using complex numbers theory]. Konstruirovaniye, ispol'zovaniye i nadezhnost' mashin sel'skokhozyaystvennogo naznacheniya : sbornik nauchnykh rabot [Designing, use and reliability agricultural machines destination : collection of scientific papers], 2015, vol. 24, no. 1, pp. 40-48 (in Russ.).
Комментариев нет:
Отправить комментарий