Данной статьей я открываю новую рубрику на сайте – «Разбор полетов», в которой будут рассматриваться различные примеры расчета рычажных механизмов с помощью предлагаемого векторного метода исследования, используя для этого опубликованные работы различных авторов. Изначально разбор полетов планировалось делать на основе рычажных механизмов, опубликованных в научных работах, но т.к. подавляющее большинство авторов научных работ не приводят всех необходимых исходных данных, то проверка их математических моделей, а также сравнение полученных результатов расчета не представляется возможным. В итоге выбор пал на различные учебно-методические материалы, где в полном объеме присутствуют все необходимые исходные данные, а также приводятся результаты расчета в виде числовых значений и графических зависимостей. Такой разбор полетов позволит максимально показать элегантность и наглядность предлагаемого векторного метода исследования рычажных механизмов по сравнению с известными на сегодняшний момент аналитическими методами. В каждом таком обзоре я буду отмечать недостатки разбираемых математических моделей рычажных механизмов, но и не буду забывать упомянуть и об их достоинствах (если таковы будут иметь место). Я буду стремиться показать, как с помощью предлагаемого векторного метода исследования рычажных механизмов все можно было бы сделать красиво, быстро и точно. Надеюсь, в перспективе все такие разборы полетов заинтересуют потенциальные научные и инженерные кадры, подстегнув их к изучению, развитию, а также практическому применению предлагаемого векторного метода исследования рычажных механизмов в различных отраслях машиностроения.
Итак, первый рычажный механизм, который мы сегодня разберем взят из следующего учебного пособия: Тарасян В.С. Моделирование кинематики плоских многозвенных механизмов в среде MatLab (Екатеринбург, 2018). Авторы данного пособия описывают кинематику многозвенного плоского рычажного механизма с помощью графоаналитического метода, а также математического алгоритма в среде программирования MatLab для одного заданного положения (угла поворота ведущего звена 40°). Кинематическая схема рассматриваемого рычажного многозвенного механизма приведена на рис. 1. При графоаналитическом методе исследования в пособии используется классический подход к определению скоростей и ускорений (линейных и угловых) всех характерных точек и звеньев рассматриваемого рычажного механизма, часть из которых находятся аналитически, а часть – из планов скоростей и ускорений. Описание кинематики рычажного механизма в среде программирования MatLab строится на решении систем двух уравнений, из которых последовательно находят углы наклона звеньев (для последующего описания положений), а также линейные скорости и ускорения характерных точек и звеньев механизма. При этом при решении систем уравнений вводятся дополнительные логические условия, позволяющие учесть одну из двух необходимых вариантов сборки.
Рис. 1 – Кинематическая схема многозвенного рычажного механизма
Недостатком представленного в пособии описания кинематики рассматриваемого многозвенного рычажного механизма в среде программирования MatLab заключается в том, что его алгоритм приводится для одного конкретного положения механизма (угла поворота ведущего звена 40°). С моей точки зрения нужно было бы представить работу алгоритма для всего диапазона угла поворота кривошипа (изменения обобщенной координаты), а результаты расчета выводить для конкретного интересующего положения или в виде графиков. Кроме того, в пособии не приводятся результаты расчета рассматриваемого рычажного механизма, полученные в среде программирования MatLab, что не позволяет сравнивать числовые значения с результатами, полученными графоаналитическим методом. Достоинством данного пособия безоговорочно являются приведенные алгоритмы визуализации в среде программирования MatLab как самого рычажного механизма, так и его планов скоростей и ускорений. К сожалению, на сегодняшний день методам и алгоритмам визуализации исследуемых рычажных механизмов в различных современных математических пакетах и средах программирования крайне мало уделяется внимания, несмотря на то что визуализация колоссально помогает при разработке и отладке как самих математических моделей рычажных механизмов, так и при исследовании и анализе полученных результатов расчета.
Приведенное ниже описание кинематики рассматриваемого многозвенного рычажного механизма предлагаемым векторным методом исследования основано на аналитических зависимостях, подробное описание которых приведено на соответствующей странице, поэтому повторное описание данных зависимостей здесь не будет приводиться. Сохраним все принятые условные обозначения точек и звеньев рассматриваемого многозвенного рычажного механизма, которые были приведены в пособии, а также зададимся следующими абсолютными векторами неподвижных и вспомогательных точек, представив их в виде транспонированных векторов для более компактной формы записи:
Абсолютные векторы точек направляющей движения ползуна W1 и W2 не приводятся в рассматриваемом пособии, однако они необходимы для описания кинематики рассматриваемого рычажного механизма предлагаемым векторным методом исследования и задаются произвольно (например, на некоторую величину по вертикали выше и ниже начала принятой системы координат).
Аналитическое описание в векторах кинематики рассматриваемого многозвенного рычажного механизма, в зависимости от значения угла поворота кривошипа O1A можно представить в следующем виде:
С помощью выражения (1) получен относительный вектор звена O1A путем поворота единичного вектора оси X на угол j против хода часовой стрелки (перед углом стоит знак «+») с изменением его длины на заданную длину LO1A (радиус кривошипа).
С помощью следующего выражения описывается кинематика для т. B ползуна:
Более подробно с описанием и принципом работы данной функции пользователя можно дополнительно ознакомиться в работе: Котов А.В. Анализ уравновешенности кривошипно-ползунного механизма привода режущего аппарата методом векторов главных точек.
Продолжим описание кинематики рассматриваемого рычажного механизма с помощью следующих выражений:
Выражением (4) получен угол AO2D с вершиной в т. O2 по теореме косинусов с использованием двух длин звеньев LO2D и LAD, а также модуля относительного вектора звена O2A, определяющего длину между двумя точками O2 и A.
С помощью следующих выражений описывается кинематика оставшихся относительных векторов рассматриваемого многозвенного рычажного механизма:
Используя выражение (10) рассчитывается относительный вектор положения звена DF, который является коллинеарным к исходному относительному вектору звена DE. Для вычисления данного относительного вектора звена DF может использоваться функция поворота вектора, в которой в качестве угла поворота исходного вектора задается нулевой угол. Применение того или иного выражения не является принципиальным, т.к. получаемый результат рассчитанный по тому или иному выражению будет идентичен. Продолжим описание кинематики рассматриваемого рычажного механизма с помощью следующих выражений:
В первой формуле выражения (18) перед вычислением единичного вектора (орта) звена BC стоит знак «–», т.к. для его определения используется относительный вектор звена AB, который имеет противоположное направление.
Таким образом, с помощью выражений (1) – (18) для рассматриваемого многозвенного рычажного механизма, в доступной и наглядной форме проведено аналитическое описание в векторах кинематики всей рассматриваемой системы в целом в зависимости от изменения обобщенной координаты (угла j поворота кривошипа). В случае необходимости введения в описание кинематики рычажного механизма дополнительных точек (например, положение центров тяжести звеньев), достаточно задать привязку интересующей точки по длине и углу к соответствующему звену, предварительно описанному ранее в кинематике.
После того как было получено аналитическое описание в векторах положение всех характерных точек и звеньев рассматриваемого рычажного механизма, можно перейти к нахождению для них действительных векторов линейных и угловых скоростей, а также действительных векторов линейных и угловых ускорений.
Действительные векторы линейных скоростей найдем путем умножения соответствующих векторов аналогов на угловую скорость входного звена, а действительные векторы линейных ускорений – путем умножения соответствующих векторов аналогов на квадрат угловой скорости входного звена:
Аналогично находятся действительные векторы угловых скоростей и ускорений соответствующих звеньев:
Для проверки правильности нахождения действительной угловой скорости и ускорения жесткого звена GHF (см. рис. 1) можно использовать следующие выражения, которые должны быть равны между собой, а также рассчитанным выше действительным угловой скорости и ускорению звена GF:
Для рассматриваемого многозвенного рычажного механизма, лежащего в плоскости XY принятой декартовой системы координат (см. рис. 1), действительные векторы угловых скоростей и ускорений звеньев будут представлять собой вектора, направленные вдоль оси Z.
Результаты расчета модуля векторов действительных линейных скоростей и ускорений характерных точек рассматриваемого рычажного механизма для угла поворота кривошипа (ведущего звена) равного 40° приведены в таблице 1, а результаты расчета векторов действительных угловых скоростей и ускорений характерных звеньев – в таблице 2. Представленные в таблице 2 значения проекций векторов действительных угловых скоростей и ускорений точек по оси Z приведены с учетом их знака (направления вращения), которое автоматически определяется при описании кинематики рассматриваемого рычажного механизма предложенным векторным методом исследования.
Таблица 1. Результаты расчета модулей векторов действительных линейных скоростей и ускорений точек
Таблица 2. Результаты расчета проекций векторов действительных угловых скоростей и ускорений звеньев по оси Z
Сравнение значений кинематических характеристик, полученных с помощью предложенного векторного метода исследования рычажных механизмов, с аналогичными значениями, приведенными в пособие, показывает их полное совпадение. Точность полученных значений ограничивается лишь выводимой разрядностью чисел в используемых математических и графических пакетах.
Стоит отметить, что положение всех подвижных точек или звеньев описываемого многозвенного рычажного механизма является функцией угла поворота j кривошипа, т.е. функцией от обобщенной координаты. Это позволяет строить различные графические зависимости интересующих кинематических параметров в зависимости от изменения величины принятой обобщенной координаты. Например, на рис. 2 приведены графики изменения проекции вектора действительной угловой скорости и ускорения для звена DE по оси Z принятой декартовой системы координат для рассматриваемого многозвенного рычажного механизма.
Рис. 2 – Графики изменения проекции вектора действительной угловой скорости (красный цвет, рад/с) и ускорения (синий цвет, рад/с2) для звена DE по оси Z в зависимости от угла поворота ведущего звена
Кроме того применение предложенного векторного метода исследования рычажных механизмов в современных математических пакетах позволяет проводить визуализация и анимацию кинематики рассматриваемого рычажного механизма. На нижеприведенном видеоролике показана визуализация кинематики многозвенного рычажного механизма, проведенная в математическом пакете PTC.MathCAD с графическим выводом в принятом масштабе векторов действительных линейных скоростей и ускорений всех характерных точек, а также показаны направления векторов действительных угловых скоростей и ускорений всех характерных звеньев.
Выводы
Как видно из приведенного выше описания, векторный метод исследования рычажных механизмов позволяет просто и наглядно аналитически описывать кинематику плоских многозвенных рычажных механизмов. Этот метод легко поддается формализации и алгоритмизации в любых современных математических пакетах и языках программирования, позволяет применять различные методы оптимизации для решения поставленной технической задачи. Применение данного метода по сравнению с существующими аналитическими методами позволяет в короткие сроки и с высоким качеством создавать оптимальные и конкурентоспособные системы рычажных механизмов для разнообразных отраслей машиностроения.
Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.
Комментариев нет:
Отправить комментарий