Способ и программная реализация кинематического анализа кулисного механизма

Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Введение. Современные зерноуборочные комбайны представляют собой сложные механические системы, эффективность работы которых во многом определяется надежностью и оптимальностью кинематических схем их исполнительных механизмов. Для устойчивого протекания технологического процесса без забивания хлебной массой, кинематические параметры каждого рабочего органа должны быть согласованы друг с другом [1, 2]. При этом важное внимание уделяется механическим системам жатвенной части зерноуборочного комбайна, которые первыми включаются в технологический процесс уборки, существенно влияя на его дальнейшее протекание.

Среди рычажных механизмов жатвенной части особое место занимают пальчиковые механизмы кулисного типа, используемые в шнеке жаток, а также в приемном битере некоторых наклонных камер. Данные механизмы служат для захвата и частичного разравнивания поступающей от предыдущего рабочего органа хлебной массы с дальнейшей ее подачей к последующему рабочему органу. Анализ пальчикового механизма позволяет не только оценить его кинематические характеристики, но и выявить потенциальные направления оптимизации конструкции [3]. Поэтому разработка математической модели такого механизма, позволяющей в доступной и наглядной форме проводить анализ и оптимизацию его параметров в зависимости от поставленных целевых показателей, является все еще актуальной научной и инженерной задачей.

Традиционные методы анализа рычажных механизмов, основанные на замкнутых векторных контурах Зиновьева [4 - 6], отличаются значительной трудоемкостью вычислений и требуют громоздких математических выкладок. Альтернативой данному методу может быть способ представления двумерного вектора, лежащего на плоскости, в виде комплексного числа, что позволяет сохранить всю информацию о длине и направлении, упрощая тем самым расчетные процедуры за счет применения более компактных и простых алгебраических выражений [7, 8].

Цель исследования. Кинематический анализ плоского рычажного механизма на основе метода преобразования координат в неизменном базисе и теории комплексных чисел. Разработать соответствующий алгоритм и его программную реализацию, позволяющую автоматизировать процесс анализа с визуализацией результатов расчета. Дать качественную оценку эффективности данного способа по сравнению с другими традиционными аналитическими методами исследования.

Постановка задачи. В качестве объекта исследования возьмем плоский рычажных механизм жатвенной части зерноуборочного комбайна, конструктивная схема которого приведена на рисунке 1, a. Согласно приведенной схеме, вращение полого цилиндра 1 осуществляется вокруг т. О, а вращение пальцев 2 – относительно т. A трубчатого вала 3, установленного в щеке подвески 4 с некоторым эксцентриситетом. Конец пальца, расположенный в т. C, и предохранительная проточка, расположенная в т. E, описывают окружности заданного радиуса, относительно центра вращения пальца. Установленный в т. B глазок 5 пальца движется по окружности цилиндра, и является направляющим для пальца механизма.

a                                                             b
Рисунок 1 – Расчетная схема пальчикового механизма (а) и его кинематическая схема (b): 1 – полый цилиндр; 2 – палец; 3 – трубчатый вал; 4 – щека подвески; 5 – глазок
Figure 1 – An analytical model of the finger mechanism (a) and its kinematic scheme (b): 1 – a hollow cylinder; 2 – a finger; 3 – a tubular shaft; 4 – a gripping jaw; 5 – a slider

Таким образом, математическая модель пальчикового механизма сводится к описанию рычажного механизма кулисного типа. Кинематическая схема данного механизма приведена на рисунке 1, b, в котором в качестве кривошипа условно принимается звено OB – радиус цилиндра, в качестве кулисного камня – глазок в т. B, а в качестве самой кулисы – палец AC.

В научной и учебной литературе достаточно полно представлены аналитические способы описания кинематики различных кулисных механизмов [9 - 12], однако приведенные способы не отличаются простотой и наглядность, а также с трудом поддаются оптимизации и параметризации. Приведенная в данной работе математическая модель пальчикового механизма с применением теории комплексных чисел, лишена всех указанных выше недостатков.

Методы исследований. В основе метода преобразования координат в неизменном базисе находится способ представления двумерного вектора, лежащего на плоскости, в виде комплексного числа. Это позволяет перейти от алгебраических операций над векторами к соответствующим операциям над комплексными числами, сохранив при этом всю информацию присущую векторным величинам о длине и направлении. Вектор комплексного числа на комплексной плоскости представим в следующей форме [13]:

где j – мнимая единица; r, rx и ry – соответственно модуль, действительная и мнимая части комплексного числа; θ – аргумент комплексного числа, рад.

С целью исключения совпадения с обозначением обычных векторных величин в выражении (1) вектор комплексного числа здесь и далее будет обозначаться символ нижнего подчеркивания.

Основой данного способа является система аналитического преобразования координат одного вектора в другой, путем поворота исходного вектора в рассматриваемой плоскости на некоторый угол в заданном направлении с изменением или без изменения его длины [3, 7]. С целью автоматизации математических расчетов при преобразовании вектора комплексного числа, а также для повышения простоты и наглядности данного преобразования введем следующую функцию пользователя TurnRI:

где r – исходный поворачиваемый вектор комплексного числа, м; α – угол поворота исходного вектора комплексного числа, значение которого принимается со знаком «+» при осуществлении поворота против хода часовой стрелки и со знаком «-» при повороте по ходу часовой стрелки, рад; L – длина нового вектора комплексного числа, м.

Вспомогательные единичные векторы комплексного числа (орты) для каждой из осей комплексной плоскости представим как:

Кинематический анализ механизма. Рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы, и положение всех характерных точек механизма определяется положением входного звена – кривошипа OB, которое в свою очередь определяется углом j поворота кривошипа к действительной оси комплексной плоскости. Данный угол принят в качестве обобщенной координаты при аналитическом описании кинематики механизма. Входными параметрами являются координаты неподвижных точек, а также длины звеньев и углы на жестких звеньях.

Задаемся векторами комплексных чисел для неподвижных шарниров механизма в алгебраической форме для прямоугольной системы координат:

Применим аналитический метод преобразования координат в неизменном базисе с использованием теории комплексных чисел для аналитического описания кинематики пальчикового механизма в зависимости от значения угла поворота кривошипа OB с учетом выражений (2) и (3):

Выражением (5) получен вектор комплексного числа звена OB путем поворота единичного вектора действительной оси на угол j против хода часовой стрелки (перед углом стоит знак «+») с изменением его длины на заданную длину LOB.

С помощью следующих выражений описывается кинематика характерных точек B, C и E (расположения предохранительной проточки):

Используемая в выражениях (7) форма записи поворота вектора комплексного числа позволяет получать новый вектор, являющийся коллинеарным к исходному поворачиваемому вектору. Необходимо также отметить, что положение всех подвижных точек или звеньев описываемого механизма является функцией угла j поворота кривошипа, т.е. функцией от обобщенной координаты.

Таким образом, с помощью выражений (4) – (8) была решена первая задача кинематического анализа методом преобразования координат в неизменном базисе с помощью теории комплексных чисел.

При решении второй и третьей задачи кинематического анализа механизма, определение скоростей и ускорений характерных точек удобно представлять через аналог скорости и аналог ускорения. Известно, что аналог скорости – это первая производная радиус-вектора точки по обобщенной координате, а аналог ускорения – вторая производная [14]. При этом для вычисления аналогов угловых скоростей и ускорений звеньев удобно использовать значение аргумента вектора комплексного числа из выражения (1), характеризующего угол наклона вектора к действительной оси комплексной плоскости. Для векторов комплексных чисел определение аналогов скоростей и ускорений можно представить в следующем общем виде:

Направление аналогов угловой скорости и ускорения звеньев будет определяться алгебраическим знаком полученного числа (знак «+» будет означать вращение звена против хода часовой стрелки, а знак «-» – по ходу часовой стрелки).

Переход от найденных аналогов скоростей и ускорений к их действительным значениям осуществляется с учетом характера движения входного звена, т.е. с учетом как его угловой скорости, так и углового ускорения (при условии, что данные величины постоянны):

где ω и ε – соответственно угловая скорость и ускорение входного звена, рад/с и рад/с2.

Таким образом, система уравнений (4) – (12) позволяет определить все кинематические характеристики рассматриваемого рычажного механизма.

Результаты и обсуждение. Применение теории комплексных чисел в кинематическом анализе рычажных механизмов требует особой формы вывода результатов расчета. Так действительная часть вектора комплексного числа отвечает за проекцию на ось X прямоугольной системы координат, а мнимая – за проекцию на ось Y. При этом для аналогов угловых скоростей и ускорений нет необходимости отдельного выделения действительной и мнимой части. Полученные результаты кинематического анализа рассматриваемого рычажного механизма с применением теории комплексных чисел полностью совпали с результатами, приведенными в работе [3] и поэтому не будут повторно дублироваться в данной работе.

На сегодняшний день современные программные средства математического моделирования (например, математический пакет PTC.MathCAD) благодаря своей эффективной работе с комплексными числами позволяют полностью автоматизировать процесс выполнения всех описанных выше этапов кинематического анализа согласно алгоритму, приведенному на рисунке 2 блок-схемы.

Рисунок 2 – Блок-схема алгоритма кинематического анализа
Figure 2 – Block diagram of the kinematic analysis algorithm

Причем, учитывая широкие возможности современных вычислительных сред по графическому отображению данных, в структуру описанного алгоритма может быть включен специальный блок визуализации результатов расчетов (см. рисунок 2). Данный блок предполагает возможность проведения визуализации кинематической схемы смоделированного рычажного механизма с отображением на ней всех интересующих векторных величин или представление их в виде отдельных графических планов. На рисунке 3 приведена такая визуализация, реализованная в математическом пакете PTC.MathCAD [15, 16].

Рисунок 3 – Визуализация кинематики пальчикового механизма в PTC.MathCAD при решении 1-ой (a), 2-ой (b) и 3-ей (c) задачи кинематического анализа
Figure 3 – Visualization of the kinematics of the finger mechanism in PTC.MathCAD when solving the 1st (a), 2nd (b) and 3rd (c) kinematic analysis problem

К достоинствам рассмотренного аналитического способа кинематического анализа с помощью теории комплексных чисел по сравнению с другими аналитическими способами можно отнести: простота и наглядность; использование только элементарных операций сложения (вычитания) и умножения; легкая адаптация к современным математическим пакетам и языкам программирования. Несмотря на это, применение предложенного способа ограничено только решением двумерных задач кинематического анализа, т.к. для решения пространственных задач требуется использование более сложных форм записи комплексных чисел.

Выводы. Представленный способ кинематического анализа, основанный на методе преобразования координат в неизменном базисе с применением теории комплексных чисел, обеспечивает нахождение кинематических параметров пальчикового механизма кулисного типа жатвенной части зерноуборочного комбайна для всех его положений. Данный способ позволяет уменьшить количество уравнений, необходимых для кинематического анализа плоских рычажных механизмов, и может найти свое эффективное применение, как в учебной, так и в инженерной практике.

Список литературы

1. Труфляк, Е.В. Современные зерноуборочные комбайны: учеб. пособие для вузов / Е.В. Труфяк, Е.И. Трубилин. – 5-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2023. – 320 с.

2. Miu, P. Combine Harvesters: theory, modeling, and design. / P. Miu. – Boca Raton: CRC Press, 2015. – 482 р.

3. Котов, А.В. Оптимизация параметров предохранительного элемента пальчикового механизма шнека жатки зерноуборочного комбайна / А.В. Котов // Тракторы и сельхозмашины. – 2023. – Т. 90. – №1. – C. 13-24. – DOI: https://doi.org/10.17816/0321-4443-114970.

4. Куцеполенко, А.В. Геометрический анализ шарнирного механизма центробежного ограничителя скорости лифта с двумя выходными звеньями / А.В. Куцеполенко // Механика машин, механизмов и материалов. – 2024. – № 4(69). – С. 61-69. – DOI: https://doi.org/10.46864/1995-0470-2024-4-69-61-69.

5. Antonescu, O. Kinematic analysis of the windshield wiper mechanism with two parallel rocker blades / O. Antonescu, D. Antonescu, A. Ionita // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2024. – Vol. 1303, No. 1. – P. 012041. – DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899x/1303/1/012041.

6. Кинематический и силовой анализ механизма привода двухстанной очистки зерноуборочного комбайна / Д.А Дубовик, В.И. Прибыльский, А.А. Новиков, А.Н. Вырский // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2019. – № 6. – С. 78-90. – DOI: https://doi.org/10.1134/S023571191906004X.

7. Котов, А.В. Кинематический и силовой анализ механизма подъема наклонной камеры зерноуборочного комбайна с применением теории комплексных чисел / А.В. Котов, Д.Г. Кроль // Конструирование, использование и надежность машин сельскохозяйственного назначения: сборник научных работ. – 2025. – № 1(24). – С. 40-48.

8. Abhary, K. A unified analytical parametric method for kinematic analysis of planar mechanisms / K. Abhary // International Journal of Mechanical Engineering Education. – 2022. – Vol. 50(2). – Pp. 389-431. – DOI: https://doi.org/10.1177/0306419020978175.

9. Смирнов, Д.А. Кинематический анализ кулисного механизма с одной степенью свободы с неподвижными вращательными кинематическими парами / Д.А. Смирнов // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 8-5. – С. 1069-1074.

10. Malcoci, I. Rocker mechanism from classical to modern kinematical analysis / I. Malcoci, M. Gutu M // Journal of Engineering Sciences. – 2020. – Vol. XXVII, no. 3. – Pp. 54-64. – DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.3949664.

11. Артоболевский, И.И. Теория механизма и машин: учебник / И.И. Артоболевский. 4-е изд., перераб. и доп. / Репринтное воспроизведение издания 1988 г. – М.: Транспортная компания, 2023. – 640 с.

12. Wilson, C. Kinematics and Dynamics of Machinery / C. Wilson, J. Sadler. – 3-rd Edition. Pearson Education Limited, 2013. – 848 p.

13. Привалов, И.И. Аналитическая геометрия: учебное пособие / И.И. Привалов. – 38-е изд. – СПб.: Лань, 2010. – 304 с.

14. Теория механизмов и машин: учеб. пособие / М.З. Коловский [и др.]. – М.: Академия, 2008. – 560 с.

15. Бертяев, В.Д. Теоретическая механика на базе MathCAD. Практикум / В.Д. Бертяев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 734 с.

16. Петров, Г.Н. Визуализация расчетов в программах Excel и MathCAD / Г.Н. Петров, А.Н. Евграфов // Современное машиностроение. Наука и образование. – 2025. – № 14. – С. 55-70. – DOI: https://doi.org/10.18720/SPBPU/2/id-99.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Для цитирования данной работы:

Котов, А. В. Способ и программная реализация кинематического анализа кулисного механизма / А. В. Котов, Д. Г. Кроль // Механика машин, механизмов и материалов. – 2025. – № 4(73). – С. 25-30. – DOI: https://doi.org/ 10.46864/1995-0470-2025-4-73-25-30.

Kotov A. V., Krol D. G. Sposob i programmnaya realizatsiya kinematicheskogo analiza kulisnogo mekhanizma [Method and software implementation of kinematic analysis of a rocker mechanism]. Mekhanika mashin, mekhanizmov i materialov [Mechanics of machines, mechanisms and materials], 2025, vol. 73, no. 4, pp. 25-30. DOI: https://doi.org/ 10.46864/1995-0470-2025-4-73-25-30 (in Russ.).

Ссылка на оригинальную работу в формате *.pdf