Как найти момент силы (крутящий момент): четыре аналитических способа

Авторы: Котов А.В.

Понятие момента силы (крутящий момент) используется в различных областях знания, под которым в общем случае понимают вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно точки, оси или тела. Момент силы, согласно СИ, имеет размерность [Н·м], но может быть представлен и в других единицах измерения: [кН·м], [Н·мм], [кг·м] и др.

Как правило, знание момента силы необходимо для последующего нагружения различных элементов исследуемой конструкции при проведении ее прочностных расчетов. Поэтому нахождение момента силы является важным этапом любого силового анализа исследуемой конструкции.

Рассмотрим четыре аналитических способа определения момента силы на плоскости относительно произвольной точки и приведем соответствующие примеры расчетов.

В качестве объекта исследования возьмем рычажный механизм, кинематическая схема которого приведена на рисунке 1. Будем считать, что для данного рычажного механизма заранее уже выполнен кинематический анализ одним из известных методов (например, векторным методом исследования рычажных механизмов), т.е. известно положение всех его характерных точек для любого угла поворота входного звена.

Рисунок 1 – Расчетная схема рычажного механизма

Предположим, что для угла поворота входного звена 115° в т. D действует сила FD=150 Н, направленная под углом 30°, к горизонтальной оси принятой декартовой системы координат. Требуется найти момент данной силы MD относительно неподвижного шарнира, расположенного в т. C.

Все представленные ниже четыре аналитических способа расчета момента силы будем сравнивать с традиционным графоаналитическим способом через плечи сил. Данный способ предполагает знание направления действующей силы, а также ее плеча силы (кратчайшего расстояния от оси до линии действия силы). Расчетная схема рычажного механизма для графоаналитического способа расчета момента силы (крутящего момента) приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Расчетная схема рычажного механизма для графоаналитического способа нахождения момента силы

Тогда момент силы (крутящий момент) графоаналитическим способом можно найти как:

где FD – приложенная сила, Н; hD – плечо приложенной силы относительно т. C, мм.

При вычислении момента силы (крутящего момента) традиционно используется следующее правило знаков: если сила поворачивает тело по часовой стрелке, то ее момент считается отрицательным, а если против – то положительным. Именно поэтому в выражении (1) момент силы (крутящий момент) принят с отрицательным знаком. Обратите внимание, что если даже Вы перепутаете, и возьмете знаки моментов наоборот (по часовой стрелке со знаком плюс, а против часовой со знаком минус), то ничего страшного не произойдет. Важно запомнить, что моменты сил, вращающих тело в различных направлениях относительно часовой стрелки, берутся с различными знаками и соблюдать это правило знаков на протяжении всего расчета.

Достоинства: простота, наглядность.

Недостатки: невысокая точность, необходимость соблюдения правила знаков.

Аналитический способ 1: метод проекций. В данном способе действующую силу раскладывают на составляющие относительно осей принятой декартовой системы координат. Расчетная схема рычажного механизма для аналитического способа расчета момента силы (крутящего момента) методом проекций приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Расчетная схема рычажного механизма для аналитического способа нахождения момента силы методом проекций

Так для принятой расчетной схемы получим следующие проекции сил на каждую ось:

где α – угол наклона приложенной силы к горизонтальной оси, град.

Зная расстояния от оси вращения, расположенной в точке C, до точки D приложения силы (которые известны из заранее проведенного кинематического анализа), можно найти момент силы следующим образом:

В выражении (3) при вычислении момента силы от каждой из ее проекций учитывалось «вручную» указанное выше правило знаков.

Достоинства: наиболее распространенный способ, простота, наглядность.

Недостатки: необходимость соблюдения правила знаков.

Аналитический способ 2: векторный метод. Данный метод основан на известном свойстве векторного произведения. Если первый множитель векторного произведения представляет собой радиус-вектор точки приложения вектора силы, а второй – вектор самой этой силы, то результатом такого векторного произведения будет являться вектор момента, направленный перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов. Расчетная схема рычажного механизма для аналитического способа расчета момента силы (крутящего момента) векторным методом приведена на рисунке 4.

Рисунок 4 – Расчетная схема рычажного механизма для аналитического способа нахождения момента силы векторным методом

Таким образом, данный метод предполагает при расчете использование вектора силы и радиус-вектора точки приложения данной силы относительно оси вращения, что в векторном виде можно представить как:

В выражении (4) проекции по оси Z приложенного вектора силы и радиус-вектора равны нулю, т.к. рассматривается плоская задача. При этом результатам расчета является вектор момента силы (крутящего момента) величина которого, с учетом алгебраического знака, получена в виде проекции на ось Z.

Несмотря на то, что в качестве примера рассматривается плоская задача, данный метод применим и к решению пространственных задач силового анализа. В этом случае для вектора силы и радиус-вектора точки ее приложения необходимо указать все три проекции на оси принятой декартовой системы координат. В результате вектор момента силы (крутящий момент) будет также иметь три проекции на каждую из осей, а его модуль будет давать абсолютное значение момента силы.

Достоинства: компактность, простота, наглядность, высокая точность, правило знаков соблюдается автоматически, возможность применения для пространственных задач.

Недостатки: необходимость использования векторных величин с последующим их перемножением.

Аналитический способ 3: с помощью комплексных чисел. Данный метод основан на представлении векторных величин из описанного выше способа 2 в виде комплексных чисел. Для этого необходимо задаться всеми известными векторами комплексных чисел в алгебраической форме для прямоугольной системы координат:

где j – мнимая единица комплексного числа.

Для вычисления момента силы с помощью комплексных чисел необходимо применить операцию умножения с использованием комплексного сопряжения. Данная операция служит аналогом для скалярного и векторного произведений векторов, применяемых в векторной алгебре, и позволяет заменить их единым алгебраическим действием. Так, если при перемножении двух векторов комплексных чисел, первый вектор представить в виде комплексно-сопряженного числа, то мнимая часть такого произведения, с учетом величины алгебраического знака, будет представлять собой значение векторного произведения этих же двух векторов. Данное свойство векторов комплексных чисел можно представить в следующем виде при вычислении момента силы (крутящего момента):

где rCD* – радиус-вектор комплексно-сопряженного числа к вектору rCD, мм.

Достоинства: компактность, простота, наглядность, высокая точность, оригинальность решения задачи, правило знаков соблюдается автоматически.

Недостатки: необходимость использования комплексных величин с последующим их перемножением, возможность применения только для плоских задач.

Аналитический способ 4: с помощью плеча. Данный метод по своей сути является альтернативой рассмотренному выше графоаналитическому способу и позволяет полностью исключить графические построения для нахождения плеча силы. Для этого воспользуемся еще одним свойством векторного произведения. Если в векторном произведении второй из перемножаемых векторов (вектор силы) представить в виде единичного вектора (орта), то результатом такого произведения будет новый вектор, модуль которого численно равен плечу, отложенному от первого перемножаемого вектора на единичное направление второго перемножаемого вектора. Используем это свойство, найдем плечо силы относительно неподвижного шарнира расположенного в т. C (используя для этого векторные величины или комплексные числа):

где Ort(FD) – единичный вектор приложенной силы.

Тогда используя найденное значение плеча силы (7) можно найти сам момент силы (крутящий момент) аналогично выражению (1).

Достоинства: простота, наглядность, высокая точность.

Недостатки: необходимость соблюдения правила знаков.

Вывод: представлены четыре аналитических способа нахождения момента силы (крутящего момента), выбор которых будет зависеть от поставленной и решаемой задачи. Все четыре способа показали одинаковые результаты расчета момента силы (крутящего момента) как между собой, так и с графоаналитическим способом. Развитие компьютерной техники и появление мощных математических пакетов, способных оперировать как с векторными, так и с комплексными числами снимает все ограничения по применению описанных выше способов на практике.

Список литературы

1. Котов, А.В. Cиловой анализ плоских рычажных механизмов векторным методом / А.В. Котов // Механика машин, механизмов и материалов. – 2024. – № 2(67). – С. 36-43. – DOI 10.46864/1995-0470-2024-2-67-36-43.

2. Котов, А.В. К вопросу определения нагрузок, действующих в двухшарнирной карданной передаче // Инновационные технологии в агропромышленном комплексе – сегодня и завтра: сборник научных статей 8-й международной научно-практической конференции: В 2 ч. – Гомель: Научно-технический центр комбайностроения ОАО «Гомсельмаш», 2024. – Ч.2. С. 138–143.

3. Котов, А. В. Исследование кинематики плоских рычажных механизмов с применением теории комплексных чисел / А. В. Котов // Студенческий научный движ : материалы науч.-технич. конф. аспирантов, магистрантов, студентов, Гомель, 25 марта 2025 г. / ГГТУ имени П.О. Сухого. – Гомель, 2025. – С. 18-20.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Котов, А. В. Как найти момент силы (крутящий момент): четыре аналитических способа / А. В. Котов // Vectormethod.blogspot.com [Электронный ресурс]. – 2020. – Режим доступа: https://vectormethod.blogspot.com/2025/07/kak-najti-moment-sily-krutyashchij-moment-chetyre-analiticheskih-sposoba.html. - Дата доступа: 08.07.2025.

Kotov A. V. Kak nayti moment sily (krutyashchiy moment): chetyre analiticheskikh sposoba [How to find the moment of force (torque): four analytical methods]. Vectormethod.blogspot.com [Electronic resource]. – 2020. – Mode of access: https://vectormethod.blogspot.com/2025/07/kak-najti-moment-sily-krutyashchij-moment-chetyre-analiticheskih-sposoba.html. – Date of access: 08.07.2025 (in Russ.).