Авторы: Котов А.В.
Представлен векторный метод исследования кинематических характеристик двухшарнирной карданной передачи. Для данной передачи аналитически описана ее кинематика в векторах, а также проанализированы различные кинематические характеристики ее работы. Использование предлагаемого векторного метода исследования рычажных механизмов в современных математических пакетах позволяет в короткие сроки подбирать рациональные кинематические характеристики как для двухшарнирных карданных передач, так и для поликарданных передач любой сложности.
Введение
Карданные передачи, представляющие собой компактные кинематические соединения, нашли широкое применение в различных отраслях машиностроения для соединения валов, оси которых не лежат на одной прямой и могут иметь относительное перемещение.
Кинематическое несовершенство карданных передач, связанное в первую очередь с неравномерностью вращения ее валов, является одной из основных причин возникновения в ней динамических нагрузок. При определенных кинематических параметрах карданной передачи, возникающие в ней динамические нагрузки могут быстро возрастать, что приводит к уменьшению долговечности, а часто и к поломке различных элементов ее конструкции. Поэтому от правильности выбора и расчета кинематических характеристик карданной передачи во многом зависит точность определения действующих в ней динамических нагрузок, а также эффективность мероприятий по их снижению.
Известны аналитические методы описания кинематических характеристик одно- и двухшарнирных карданных передач [1-3]. Однако применение данных методов для анализа кинематических характеристик поликарданных передач (т.е. последовательно соединенных простых карданов с произвольным числом шарниров) представляет весьма сложную задачу из-за своей громоздкости, а также невозможность применения полученных результатов при дальнейших динамических расчетах. В работах [1, 4] представлены аналитические методы описания кинематических характеристик поликарданных передач путем разложения их передаточных отношений в степенные ряды. Однако и данные методы не отличаются наглядностью, проводятся с рядом допущений, а разложение в степенные ряды осуществляется с некоторой погрешностью, что в совокупности при определенных условиях может существенно повлиять на точность конечных результатов. Поэтому получение универсальных, удобных и наглядных аналитических зависимостей для анализа кинематических характеристик карданной передачи все еще является актуальной задачей.
В данной работе на примере двухшарнирной карданной передачи представлен метод аналитического описания ее кинематических характеристик, основанный на применении векторного метода исследования рычажных механизмов, который долгое время успешно применяется автором при проектировании различных рычажных механизмов [6–9]. Предлагаемый векторный метод исследования является универсальным и может быть успешно применен для описания кинематики не только двухшарнирной карданной передачи, но и для поликарданной передачи любой сложности.
Описание кинематической схемы
Как известно двухшарнирная карданная передача может иметь различное пространственное расположение как своих валов, так и вилок промежуточного вала. Описанный в данной работе векторный метод исследования позволяет учесть все указанные особенности пространственного расположения двухшарнирной карданной передачи. Однако, для проверки адекватности предлагаемого метода с известными аналитическими и графическими зависимостями [1-5] была рассмотрена упрощенная схема двухшарнирной карданной передачи приведенная на рис. 1.
Рис. 1. Общий вид кинематической схемы двухшарнирной карданной передачи:
P1 – плоскость, проходящая через оси валов карданной передачи и называемая плоскостью передачи; P2 – плоскость карданной вилки ведущего вала; P3, P4 – плоскости карданных вилок промежуточного вала; P5 – плоскость карданной вилки ведомого вала; α12, α23 – острый угол между осями валов в плоскости передачи; ψ – угол смещения плоскостей карданных вилок на промежуточном валу; j1 – угол поворота вилки ведущего вала; ω1, ω2, и ω3 – угловая скорость вращения соответственно ведущего, промежуточного и ведомого валов; RКР – радиус крестовины;
1 – ведущий вал; 2 – промежуточный вал; 3 – ведомый вал
Согласно приведенной на рис. 1 кинематической схеме двухшарнирной карданной передачи все ее валы расположены в плоскости передачи P1, а ось ведущего вала (поз. 1) параллельна оси ведомого вала (поз. 3). Шарниры крестовины ведущего и промежуточного (поз. 2) валов перемещаются по окружностям заданного радиуса RКР, каждая из которых лежит в плоскости перпендикулярной к соответствующей оси вала. Аналогично перемещаются шарниры крестовины промежуточного и ведомого валов. При любом угле поворота вилки ведущего вала угол между осями обоих крестовин остается равным 90°. Промежуточный вал расположен под углом α12 к оси ведущего вала и под углом α23 к оси ведомого вала в плоскости передачи P1. Плоскости вилок промежуточного вала P3 и P4 могут иметь угол смещения ψ, изменяемый в диапазоне от 0° (плоскости вилок совпадают) до 90° (плоскости вилок перпендикулярны друг другу).
За начальное положение вилки ведущего вала принято положение, при котором плоскость вилки P2 ведущего вала находится в плоскости передачи P1. Однако стоит отметить, что для предложенного векторного метода исследования рычажных механизмов не является принципиальным привязка к какому-либо конкретному положению. Описанное выше начальное положение вилки ведущего вала делается лишь для удобства сравнения и сопоставления полученных результатов с известными аналитическими и графическими зависимостями, для которых такая привязка принципиально важна.
С учетом указанного выше начального положения вилки ведущего вала принято следующее направление координатных осей. Ось Z направлена вдоль оси ведущего вала таким образом, что если смотреть на острие оси Z, то вращение вилки ведущего вала осуществляется против часовой стрелки. Ось Y направлена вертикально вверх и лежит в плоскости передачи P1 (совпадает с осью вилки ведущего вала в начальном положении). Ось X направлена перпендикулярно плоскости ZY, образованной соответствующими осями (совпадает с осью вилки промежуточного вала в начальном положении), а ее направление определяется по правилу буравчика. В качестве обобщенной координаты принят угол поворота вилки ведущего вала j1, который однозначно определяет положение всех характерных точек двухшарнирной карданной передачи.
Аналитические зависимости и условные обозначения
В связи с пространственным расположением двухшарнирной карданной передачи предлагаемый векторный метод исследования рычажных механизмов основан на известном методе преобразования координат и аналитических зависимостях (1)–(7), приведенных в работе [8], с учетом некоторых дополнений. Так, для получения повернутого в пространстве вектора V1, имеющего заданную длину, не равную исходному поворачиваемому вектору, будет использоваться следующее выражение:
где V – поворачиваемый исходный вектор; n – единичный вектор, вокруг которого осуществляется поворот в пространстве; θ – угол поворота исходного вектора (значение угла θ принимается со знаком «+» при осуществлении поворота исходного вектора против часовой стрелки (если смотреть на острие вектора n), а при повороте по часовой стрелки – со знаком «-»); Lnew – длина нового вектора; M(n,θ) – матрица поворота вектора, которую удобно представить в виде так называемой матрицы направляющих косинусов:
Представленное в работе [8] выражение (6) отличается от выражения (1) данной работы лишь в форме записи матрицы поворота. Если в данной работе матрица поворота представлена в виде направляющих косинусов (что является более наглядным), то в работе [8] матрица поворота представлена в виде трех составляющих по осям системы координат.
Кроме того, для наглядности и простоты понимания приведенного в данной работе аналитического описания в векторах двухшарнирной карданной передачи введены следующие понятия и условные обозначения.
Вектор, обозначенный одной буквой латинского алфавита (например, A), будет называться абсолютным вектором, т.е. координатами точки относительно начала принятой системы координат. Вектор, обозначенный двумя буквами латинского алфавита (например, AB), будет называться относительным вектором, т.е. координатой второй точки относительно первой. Суть обоих введенных понятий абсолютно одинакова т.к. и вектор называемый абсолютным, и вектор называемый относительным – это координата одной точки относительно другой.
Кинематический анализ механизма
На рис. 2 приведен общий вид рассматриваемой двухшарнирной карданной передачи в виде конструктивной (рис 2, а) и кинематической схемы (рис 2, б) с принятыми обозначениями всех характерных точек для начального положения вилки ведущего вала.
а)
б)
Рис. 2. Схема двухшарнирной карданной передачи для начального положения вилки ведущего вала:
В предложенном векторном методе исследования рычажных механизмов при описании кинематики двухшарнирной карданной передачи в качестве исходных геометрических данных выступают только координаты точек осей карданных валов и радиус крестовины. Принятые в качестве исходных данных параметры рассматриваемой двухшарнирной карданной передачи (см. рис. 2) приведены в таблице 1.
Аналитическое описание в векторах кинематики двухшарнирной карданной передачи в зависимости от значения угла j1 поворота вилки ведущего вала с учетом выражения (1) можно представить в следующем виде:
Выражением (3) получен относительный вектор AD(j1) путем поворота единичного вектора eY оси Y вокруг единичного вектора eZ оси Z на угол j1 (угол поворота вилки ведущего вала) против часовой стрелки с изменением его длины на заданную длину радиуса крестовины RКР.
Необходимо отметить, что положение всех подвижных точек или звеньев описываемой двухшарнирной карданной передачи является функцией угла поворота ведущего вала j1, т.е. функцией от обобщенной координаты. Следовательно, и все вектора, описывающие положение двухшарнирной карданной передачи, так же являются функциями от обобщенной координаты. Таким образом, в данной работе подразумеваются не просто вектора, а вектор-функции, которые в совокупности описывают положение всей двухшарнирной карданной передачи в зависимости от значения обобщенной координаты. В приведенном ниже аналитическом описании вектор-функциями являются все векторы, после обозначения которых в скобках указана обобщенная координата. Там, где обобщенная координата после обозначения вектора отсутствует, вектор не является функцией, а является неподвижной точкой или звеном.
С помощью следующих выражений описывается кинематика характерных точек (абсолютных векторов) первой крестовины двухшарнирной карданной передачи, соединяющей ведущий и промежуточный валы:
Наибольший интерес при описании кинематики двухшарнирной карданной передачи вызывают участки при переходе с одного вала на другой в зоне расположения крестовин (т. A и т. B, см. рис. 2). Именно на этих участках происходит поворот передаваемого потока мощности на угол наклона между осями валов, что приводит к возникновению в данной зоне сосредоточенных изгибающих моментов, действующих на вилки соединяемых валов.
В зоне расположения первой крестовины (т. A, см. рис. 2) пересекаются четыре оси – ось ведущего вала (OA), ось промежуточного вала (AB), ось крестовины установки вилки ведущего вала (DE) и ось крестовины установки вилки промежуточного вала (FG). Причем для любого угла поворота j1 вилки ведущего вала оси обоих валов (OA и AB) всегда остаются перпендикулярными к осям крестовин установки своих вилок, а оси крестовин установки вилок (DE и FG) всегда остаются перпендикулярными друг к другу. В связи с этим для описания кинематики данного участка можно воспользоваться геометрическим свойством векторного произведения:
Выражением (8) получен относительный вектор AG(j1), путем умножения радиуса крестовины RКР на единичный вектор (орт), найденный в результате векторного произведения. Данный вектор является перпендикулярным плоскости, образуемой перемножаемыми векторами AD(j1) и AB (осью крестовины установки вилки ведущего вала и осью промежуточного вала), а его направление определяется правилом векторного произведения.
С помощью следующих выражений описывается кинематика оставшихся характерных точек (абсолютных векторов) первой крестовины двухшарнирной карданной передачи, соединяющей ведущий и промежуточный валы:
Положение характерных точек второй вилки крестовины промежуточного вала с учетом возможного угла смещения ψ плоскостей его вилок (см. рис. 1) могут быть определены по следующим выражениям:
В выражении (12) принято, что угол смещения ψ плоскостей карданных вилок на промежуточном валу (угол смещения плоскости P4 относительно плоскости P3 (см. рис. 1)) отсчитывается по часовой стрелке, если смотреть на острие вектора AB (вектор оси промежуточного вала).
По аналогии с выражением (8) для аналитического описания в векторах кинематики второй крестовины двухшарнирной карданной передачи, соединяющей промежуточный и ведомый валы, можно также воспользоваться геометрическим свойством векторного произведения:
Выражением (17) получен относительный вектор BK(j1), который является перпендикулярным плоскости образуемой векторами BI(j1) и BC (осью крестовины установки вилки промежуточного вала и осью ведомого вала), а его направление определяется правилом векторного произведения.
С помощью следующих выражений описывается кинематика оставшихся характерных точек (абсолютных векторов) второй крестовины двухшарнирной карданной передачи, соединяющей промежуточный и ведомый валы:
Таким образом, с помощью выражений (2)–(20) для двухшарнирной карданной передачи проведено аналитическое описание в векторах кинематики всей рассматриваемой системы в целом. В случае необходимости введения в описание кинематики двухшарнирной карданной передачи дополнительных точек (например, положение центров тяжести звеньев), достаточно задать привязку интересующей точки по длине и углу к соответствующему звену, предварительно описанному ранее в кинематике [9].
По аналогии с вышеприведенными выражениями, описывающих кинематику характерных точек двухшарнирной карданной передачи, можно описать кинематику поликарданной передачи любой сложности в зависимости от значения угла j1 поворота вилки ведущего вала (обобщенной координаты).
Для проверки адекватности описанной кинематики движения всех характерных точек двухшарнирной карданной передачи, полученных векторным методом, по исходным данным таблицы 1 в трехмерном CAD пакете была построена параметрическая модель рассматриваемой двухшарнирной карданной передачи (см. рис. 2, а). Путем сопоставления значений координат всех характерных точек двухшарнирной карданной передачи, полученных аналитическим и графическим методами, для нескольких произвольно выбранных углов j1 поворота вилки ведущего вала был сделан вывод об абсолютной адекватности полученных результатов.
Стоит также отметить, что современные математические пакеты при использовании определенных пользовательских функций позволяют успешно осуществлять визуализацию любых как пространственных, так и плоских рычажных механизмов. Так на рис. 3 приведена пространственная визуализация анализируемой двухшарнирной карданной передачи, построенной в математическом пакете по исходным данным таблицы 1. Использование такой пространственной визуализации в современных математических пакетах позволяет оперативно проводить дополнительную проверку правильности описания кинематики любых механизмов предложенным векторным методом.
Рис. 3. Пространственная визуализация рассматриваемой двухшарнирной карданной передачи в математическом пакете
Предложенный векторный метод исследования кинематических характеристик двухшарнирной карданной передачи позволил получить все известные графические зависимости, приведенные в работах [1-5], а применение имеющихся в современных математических пакетах методов параметризации и оптимизации позволило значительно расширить область проводимого анализа кинематических характеристик. На рис. 4 приведена одна из наиболее интересных графических зависимостей для двухшарнирной карданной передачи – график изменения неравномерности вращения по углу поворота промежуточного вала в зависимости от угла ψ смещения плоскостей вилок промежуточного вала. Данный график, как и все последующие приведенные в данной работе, построен для диапазона угла поворота вилки ведущего вала от 0° до 180°, так как в оставшемся диапазоне угла поворота вилки ведущего вала график имеет периодическое повторение и уже не несет дополнительной информации.
Рис. 4. График изменения неравномерности вращения по углу поворота промежуточного вала в зависимости от угла ψ смещения плоскостей вилок промежуточного вала
Как видно из приведенного на рис. 4 графика, по мере увеличения угла ψ смещения плоскостей вилок промежуточного вала, неравномерность вращения по углу промежуточного вала также растет. Максимальное значение неравномерности вращения по углу промежуточного вала наблюдается при угле смещения вилок 60°. Также из графика видно, что если вилки промежуточного вала расположены под углом 15°, то за один оборот вилки ведущего вала промежуточный вал дважды отстает от него. А если вилки промежуточного вала расположены под углом 90°, то промежуточный вал уже дважды отстает и дважды обгоняет ведущий вал.
После того как было получено аналитическое описание в векторах положение всех характерных точек двухшарнирной карданной передачи, нахождение для них векторов линейных скоростей и ускорений уже не представляет особого труда. Получение данных величин путем взятия первой и второй производной по обобщенной координате от уже найденного вектора, который описывает абсолютную (относительную) координату некоторой точки или звена, подробно описано в работах [7, 9]. Остановимся более подробно лишь на последовательности нахождения векторов угловых скоростей и ускорений звеньев, так как для карданной передачи это является более существенным.
Если известен вектор r(j1), который описывает относительные координаты некоторого звена, то для определения аналога вектора угловой скорости этого звена, необходимо орт вектора этого звена умножить векторно на аналог вектора относительной линейной скорости этого звена и результирующий вектор разделить на модуль вектора этого звена:
где Vr*(j1) – аналог вектора относительной линейной скорости звена, описываемого вектором r(j1) (представляет собой первую производную по обобщенной координате от вектора r(j1)).
Если известен аналог вектора угловой скорости некоторого звена, то, взяв от этого аналога первую производную по обобщенной координате, можно определить аналог вектора углового ускорения этого звена:
Направление аналогов векторов угловой скорости и углового ускорения звеньев определяется правилом векторного произведения, которое учитывает направления перемножаемых векторов, и может быть визуально определено по правилу буравчика.
Для того чтобы от аналогов векторов угловых скоростей и ускорений звеньев перейти к их истинным значениям необходимо найденные аналоги векторов угловых скоростей умножить на угловую скорость входного звена (скорость изменения обобщенной координаты), а аналоги векторов угловых ускорений умножить на квадрат этой угловой скорости (при условии, что эта скорость постоянна):
Используя выражения (21)-(23) можно найти вектора угловых скоростей и угловых ускорений каждого вала двухшарнирной карданной передачи (в зависимости от величины обобщенной координаты):
Для проверки адекватности нахождения по выражениям (24) и (25) значений угловых скоростей и ускорений, полученных предложенным векторным методом исследования, воспользуемся известными аналитическими зависимостями [1, 5]. Так для промежуточного вала двухшарнирной карданной передачи угловая скорость и угловое ускорение определяется по следующим выражениям:
где α12 – угол наклона между осями ведущего и промежуточного валов, рад (см. рис. 1).
Рассчитанные по выражениям (26) и (27) значения угловых скоростей и угловых ускорений для промежуточного вала двухшарнирной карданной передачи полностью совпадают со значениями, определенными по выражениям (24) и (25), что в очередной раз подтверждает адекватность предложенного векторного метода исследования кинематических характеристик двухшарнирной карданной передачи.
Полученные выражения (21)-(23) полностью характеризуют кинематику двухшарнирной карданной передачи как передаточного механизма. Используя данные выражения, а также изменяя углы наклона между валами путем задания различных вертикальных координат точек оси ведомого вала (т. B и т. C, см. рис. 2), можно получить все известные графические зависимости для анализа кинематических характеристик двухшарнирной карданной передачи [1-5]. Так в качестве примера на рис. 5 приведен график изменения неравномерности вращения по угловой скорости промежуточного вала в зависимости от угла наклона между осями валов, а на рис. 6 приведен график изменения неравномерности вращения по угловому ускорению промежуточного вала в зависимости от угла наклона между осями валов.
Рис. 5. График изменения неравномерности вращения по угловой скорости промежуточного вала в зависимости от угла α=α12=α23 наклона между осями валов
а) б)
Рис. 6. График изменения неравномерности вращения по угловому ускорению промежуточного вала в зависимости от угла α=α12=α23 наклона между осями валов
а – для углов наклона 5°, 10° и 15°; б – для углов наклона 20°, 25°, 30° и 35°
Анализируя графики, представленные на рис. 5 и 6, видно, что при увеличении угла наклона между осями валов увеличивается неравномерность вращения промежуточного вала как по угловой скорости, так и по угловому ускорению. Неравномерность вращения по угловой скорости промежуточного вала (см. рис. 5) изменяется четыре раза за один оборот вилки ведущего вала, при этом наблюдается выраженная симметрия графиков для всех рассмотренных значений углов наклона между осями валов. Для графиков неравномерности вращения по угловому ускорения (см. рис. 6) симметрия наблюдается только при небольших углах наклона между валами примерно до 15° (см. рис. 6, а). Именно такие графические зависимости приводятся в известных работах [1-3]. Однако с увеличением угла наклона между валами происходит нелинейный рост углового ускорения промежуточного вала, в результате чего симметрия графиков нарушается (см. рис. 6, б). Одновременно с ростом углового ускорения возрастает инерционное сопротивление промежуточного вала двухшарнирной карданной передачи и как следствие, возрастают динамические нагрузки. Можно спрогнозировать, что при определенном пороговом значении угла наклона между осями валов инерционное сопротивление промежуточного вала станет настолько большим, что в конечном итоге приведет к остановке передачи.
Изложенный в данной работе векторный метод исследования кинематических характеристик двухшарнирной карданной передачи была в дальнейшем использована для нахождения векторов-нагрузок (сил и моментов), действующих на входной и ведомый валы двухшарнирной карданной передачи со стороны их вилок, для проведения последующих прочностных расчетов.
Выводы
Представленный в данной работе векторный метод исследования рычажных механизмов на примере двухшарнирной карданной передачи позволил доступно и наглядно аналитически описать и проанализировать кинематические характеристики ее работы. Этот метод легко поддается формализации и алгоритмизации в любых современных математических пакетах и языках программирования, а также позволяет применять различные методы оптимизации и параметризации для решения поставленной технической задачи. Применение данного метода по сравнению с известными аналитическими зависимостями позволяет в короткие сроки подбирать рациональные кинематические характеристики как для двухшарнирных карданных передач, так и для поликарданных передач любой сложности.
Список литературы
1. Кожевников С.Н., Перфильев П.Д. Карданные передачи. – Киев: Технiка, 1978. – 264 с.
2. Малаховский Я.Е., Лапин А.А., Веденеев Н.К. Карданные передачи. – М.: МАШГИЗ, 1962. – 156 с.
3. Чудаков Е.А. Расчет автомобиля. – М.: МАШГИЗ, 1947. – 432 с.
4. Бойко Л.И. Механика приводов колеблющихся рабочих органов машин. – Мн.: ООО «Меджик Бук», 2003. – 240 с.
5. Флик Э.П. Механические приводы сельскохозяйственных машин. – М.: Машиностроение, 1984. – 272 с.
6. Котов А.В. Применение векторного анализа при проектировании рычажных механизмов / А.В. Котов, Ю.В. Чупрынин // Научно-технический прогресс в сельскохозяйственном производстве: сб. ст. Междунар. науч.-практ. конф., Минск, 17-19 октября 2007 г. / РУП «Научно-практический центр Национальной академии наук Беларуси по механизации сельского хозяйства»: под общ. ред. В.Н. Дашкова. В 2 т.: Т.2. – Минск, 2007. – С. 32-37.
7. Котов А.В. Применение векторного анализа для оптимизации механизма привода системы очистки зерна зерноуборочного комбайна при его проектировании / А.В. Котов, Ю.В. Чупрынин // Механика машин, механизмов и материалов. – 2009. – № 2(7). – С. 43-48.
8. Котов А.В., Чупрынин Ю.В. Векторный анализ пространственных рычажных механизмов // Тракторы и сельхозмашины. - 2011. - Т. 78. - №12. - C. 33-38. doi: 10.17816/0321-4443-69293.
9. Котов А.В., Чупрынин Ю.В. Уравновешивание механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата жатки для уборки трав // Тракторы и сельхозмашины. - 2015. - Т. 82. - №10. - C. 23-27. doi: 10.17816/0321-4443-66060.
Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.
Для цитирования данной работы:
Котов А.В. Векторный анализ кинематических характеристик двухшарнирной карданной передачи // Тракторы и сельхозмашины. - 2020. - Т. 87. - №1. - C. 39-48. doi: 10.31992/0321-4443-2020-1-39-48
Комментариев нет:
Отправить комментарий