Проведем кинематический анализ рычажного механизма с вращательным движением ведущего (входного) звена в зависимости от изменения его угла поворота (обобщенной координаты) предложенным векторным методом исследования рычажных механизмов, т.е. определим положение всех его характерных точек в заданной системе координат. Расчетная схема рычажного механизма с вращательным движением ведущего звена приведена на рисунке 1. Согласно приведенной расчетной схеме привязка угла поворота ведущего звена осуществляется к оси X, а сам поворот звена осуществляется против хода часовой стрелки.
Рисунок 1 – Расчетная схема рычажного механизма с вращательным движением ведущего звена
По умолчанию (если поставленной задачи не будет оговорено другое условие) все рассматриваемые в дальнейшем рычажные механизмы будут анализироваться в правосторонней декартовой системе координат. Для рассматриваемого рычажного механизма начало данной системы координат принято совпадающим с точкой O (см. рисунок 1). Именно относительно данной системы координат буду рассчитаны координаты всех характерных точек рычажного механизма при проведении кинематического анализа предложенным векторным методом исследования. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота ведущего звена j, который однозначно определяет положение всех характерных точек рассматриваемого рычажного механизма. При проведении кинематического анализа любого рычажного механизма в качестве исходных данных будут выступать координаты неподвижных точек, длины звеньев механизма, углы между отрезками на жестких звеньях, а также пределы изменения обобщенной координаты ведущего (входного звена). Для рассматриваемого рычажного механизма все необходимые исходные данные для проведения кинематического анализа предложенным векторным методом исследования приведены в таблице 1.
При проведении кинематического анализа любого рычажного механизма в качестве исходных данных будут выступать координаты неподвижных точек, длины звеньев механизма, углы между отрезками на жестких звеньях, а также пределы изменения обобщенной координаты ведущего (входного звена). Для рассматриваемого рычажного механизма все необходимые исходные данные для проведения кинематического анализа предложенным векторным методом исследования приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные к расчету рычажного механизма
Размеры в миллиметрах
Координаты неподвижных точек
|
Длины звеньев
| ||||||
O
|
C
|
LOA
|
LAB
|
LBC
|
LCD
|
LBD
| |
(0; 0; 0)
|
(420; 0; 0)
|
300
|
400
|
350
|
250
|
185
| |
Число рассчитываемых положений
|
Диапазон изменения обобщенной координаты
| ||||||
11
|
jmin = 0°
|
jmin = 360°
| |||||
Проведем кинематический анализ рычажного механизма с вращательным движением ведущего (входного) звена в зависимости от изменения его угла поворота (обобщенной координаты) предложенным векторным методом исследования рычажных механизмов, т.е. определим положение всех его характерных точек в заданной системе координат. Расчетная схема рычажного механизма с вращательным движением ведущего звена приведена на рисунке 1. Согласно приведенной расчетной схеме привязка угла поворота ведущего звена осуществляется к оси X, а сам поворот звена осуществляется против хода часовой стрелки.
Перед началом проведения кинематического анализа любого рычажного механизма необходимо рассчитать шаг изменения обобщенной координаты, а также задаться диапазоном его изменения. Шаг изменения обобщенной координаты должен выбираться таким образом, чтобы полученных в результате анализа положений рычажного механизма было достаточно для его всестороннего исследования и получения плавных графических зависимостей изменения интересующих параметров. Для рассматриваемого рычажного механизма получим:
При изучении предложенного векторного метода исследования рычажных механизмов на первом этапе рекомендуется предварительно представить все точки и звенья исследуемого рычажного механизма в виде замкнутых векторных контуров, что облегчит понимание использования функции поворота вектора на заданный угол с новой длиной. Расчетная схема рычажного механизма с вращательным движением ведущего звена в виде векторных контуров приведена на рисунке 2.
Аналитическое описание механизма с учетом выражений (1) – (4) можно представить в следующем виде:
Выражением (3) получаем относительный вектор OA(j) путем поворота единичного вектора ex оси X на угол j (обобщенной координаты) против хода часовой стрелки (перед углом стоит знак «+») с изменением его длины на заданную длину ведущего звена LOA. Выражение (3) это частный случай использования выражения (4), когда исходным вектором, с помощью которого осуществляется поворот, является единичный вектор. В общем случае в выражении (3) в качестве исходного вектора может выступать любой заданный или заранее определенный вектор.
Рисунок 2 – Расчетная схема рычажного механизма с вращательным движением ведущего звена в виде замкнутых векторных контуров
Необходимо отметить, что положение всех подвижных точек или звеньев рассматриваемых рычажных механизмов будут являться функцией от обобщенной координаты (угла поворота или перемещения ведущего). Следовательно, и все вектора, описывающие положение рычажных механизмов, так же будут являться функциями от обобщенной координаты. Таким образом, при аналитическом описании рычажных механизмов предлагаемым векторным методом исследования подразумеваются не просто вектора, а вектор-функции, которые в совокупности описывают положение всего механизма в зависимости от значения обобщенной координаты. В приведенном ниже аналитическом описании рычажного механизма вектор-функциями являются все векторы, после обозначения которых, в скобках указана обобщенная координата. Там где обобщенная координата после обозначения вектора отсутствует, вектор не является функцией, а является неподвижной точкой.
Вычислим абсолютную координату точки A(j):
Зная абсолютный вектор точки A(j), найдем вспомогательный относительный вектор СА(j) по следующему выражению:
Найдем вспомогательный угол ACB(j) между векторами CA(j) и CB(j) при вершине в точке C треугольника ACB, воспользовавшись следующим выражением:
Выражением (7) получаем относительный вектор CB(j) путем поворота относительного вектора CA(j) на угол ACB(j) по ходу часовой стрелки (перед углом стоит знак «-») с изменением его длины на заданную длину звена LCB.
Согласно исходным данным жесткий треугольник BCD рассматриваемого рычажного механизма задан по трем своим сторонам. Следовательно, для данного треугольника можно найти вспомогательный угол BCD при его вершине в точке C:
Стоит отметить, что жесткие звенья рычажных механизмов могут быть заданы как с помощью только длин своих звеньев (как в рассматриваемом рычажном механизме), так и с помощью длин звеньев и углов между ними. Принципиального значения в проведении анализа рычажных механизмов предлагаемым векторным методом это не имеет.
С помощью следующих выражений получим положение всех оставшихся характерных точек рычажного механизма в зависимости от изменения угла j поворота ведущего звена (обобщенной координаты):
Таким образом, с помощью выражений (3) – (13) для рассматриваемого рычажного механизма проведено аналитическое описание в векторах геометрии всей рассматриваемой системы в целом.
Результаты кинематического анализа рычажного механизма, приведенного на рисунке 1, в зависимости от угла поворота ведущего звена (изменения обобщенной координаты) приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты кинематического анализа рычажного механизма
Координаты в миллиметрах
j, град
|
A(j)X
|
A(j)Y
|
B(j)X
|
B(j)Y
|
D(j)X
|
D(j)Y
|
0
|
300,00
|
0,00
|
516,25
|
336,505
|
601,249
|
172,188
|
36
|
242,705
|
176,336
|
628,797
|
280,899
|
650,348
|
97,158
|
72
|
92,705
|
285,317
|
488,490
|
343,233
|
586,605
|
186,394
|
108
|
-92,705
|
285,317
|
304,738
|
330,476
|
468,896
|
245,172
|
144
|
-242,705
|
176,336
|
154,011
|
227,486
|
338,794
|
236,444
|
180
|
-300,00
|
0,00
|
86,042
|
104,747
|
252,460
|
185,554
|
216
|
-242,705
|
-176,336
|
76,129
|
65,212
|
232,024
|
164,819
|
252
|
-92,705
|
-285,317
|
78,404
|
76,238
|
237,423
|
170,779
|
288
|
92,705
|
-285,317
|
89,317
|
114,669
|
258,074
|
190,473
|
324
|
242,705
|
-176,336
|
140,238
|
210,317
|
324,093
|
230,872
|
Контрольные положения рычажного механизма
| ||||||
15
|
289,778
|
77,646
|
638,671
|
273,282
|
653,663
|
88,890
|
115
|
-126,785
|
271,892
|
270,712
|
316,565
|
442,913
|
248,948
|
200
|
-281,908
|
-102,606
|
77,633
|
72,696
|
235,664
|
168,879
|
320
|
229,813
|
-192,836
|
128,822
|
194,205
|
311,225
|
225,096
|
На первом этапе изучения векторного метода исследования рычажных механизмов рекомендуется проводить графическую проверку смоделированного механизма для нескольких произвольных положений. Для этого в любом графическом пакете, используя только исходные данные таблицы 1, методом засечек строятся несколько контрольных положений рассматриваемого рычажного механизма. Путем измерения в графическом пакете координат всех подвижных точек и сопоставления полученных значений со значениями, приведенными в таблице 2, делается заключение о правильности проведения кинематического анализа предложенным векторным методом исследования. Такая простая проверка позволяет в случае неправильного аналитического описания рычажного механизма выявить возможные ошибки на ранних этапах анализа, а также убедиться в точности полученных результатов. Так для рассматриваемого рычажного механизма были выбраны четыре контрольных положения (по одному в каждом квадранте принятой системы координат). Точность выводимых результатов принята до третьего знака после запятой как для вывода расчетных результатов в таблице 2, так и при выводе размеров в графическом пакете. Как видно из приведенных результатов расчета (см. таблицу 2 и рисунок 3) точность полученных значений координат подвижных точек имеет полную сходимость.
а)
б)
в)
г)
Рисунок 3 – Контрольные положения рычажного механизма для четырех углов поворота ведущего (входного звена)
а – для угла 15°; б – для угла 115°; в – для угла 200°; г – для угла 320°
Проведенные многочисленные исследования различных рычажных механизмов показали абсолютную точность кинематического исследования векторным методом при проверке его с помощью любого графического пакета. Поэтому постоянной сверки полученных результатов кинематического анализа рычажных механизмов в каком-либо графическом пакете нет необходимости. Если при аналитическом описании рычажного механизма векторным методом не была допущено никакой ошибки, то результат получается абсолютно верным. Данная графическая проверка будет проведена еще на одном простейшем механизме, который будет рассмотрен ниже, однако в дальнейшем данная проверка больше не будет проводиться. Т.о. в результате проведенного кинематического анализа рычажного механизма с вращательным движением ведущего звена получены абсолютные положения характерных точек рычажного механизма в принятой правосторонней декартовой системе координат, т.е. положение рычажного механизма однозначно определено в зависимости от изменения угла поворота ведущего звена (изменения обобщенной координаты).
Представленный векторный метод исследования рычажных механизмов по сравнению с существующими аналитическими методами позволяет доступно и наглядно аналитически описывать геометрию проектируемых рычажных механизмов и осуществлять анализ их работы. Этот метод легко поддается формализации и алгоритмизации в любых современных математических пакетах и языках программирования, а также позволяет применять различные методы оптимизации для решения поставленной технической задачи. Так при применении метода векторного анализа рычажных механизмов в математическом пакете MathCAD достаточно будет ввести исходные данные, приведенные в таблице 1, а используемый в выражениях (1) – (13) знак равенства заменить на стандартный оператор присваивания («:=»), применяемый в MathCAD.
Комментариев нет:
Отправить комментарий