Лабораторная работа №2. Создание файла-заготовки для расчета рычажных механизмов

Авторы: Котов А.В.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. создать файл-заготовку для последующих расчетов рычажных механизмов векторным методом, основанном на векторном анализе и векторном преобразовании координат; 2. ознакомиться с принятыми условными обозначениями; 3. ознакомиться с аналитическими зависимостями и входящими в них элементами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Принятые условные обозначения

При создании любой математической модели необходимо стремиться к максимально возможной универсальности описания всех исходных и расчетных параметров. Не исключение составляет в этом разработка математических моделей рычажных механизмов на основе предложенного векторного метода исследования, основанного на векторном анализе и векторном преобразовании координат.

Вектор, обозначенный одной буквой латинского алфавита с соответствующим порядковым номером (например, P1), дает абсолютную (относительную) координату соответствующей точки механизма в принятой системе координат и будет называться вектором-точкой.

Вектор, обозначенный одной буквой латинского алфавита и двумя цифрами (например, P1_2), дает взаимное расположение двух точек рычажного механизма, имеющих соответствующий порядковый номер (в данном случае это точки P1 и P2) и будет называться вектором-звеном.

Длины звеньев рычажного механизма будут иметь следующее обозначение: первая будет идти латинская буква L, две следующие цифры соответствуют точкам механизма, которые соединяют данное звено (например, L1_2).

Углы между звеньями механизма будут иметь следующее обозначение: первая будет идти латинская буква U, затем три цифры (например, U1_2_3), где средняя цифра соответствует вершине угла. Если в состав угла входит ось координат, то соответствующая ось включается в обозначение угла (например, U1_Y_3).

Линейные и угловые скорости или ускорения точек (звеньев) механизма будут обозначаться одной буквой V, A, Ε или Ω соответственно и одной (для вектора-точки механизма) или двумя (для вектора-звена механизма) цифрами (например, V3, A3, Ε1_3, Ω1_3).

Передаточные отношения в формируемых математических моделях рычажных механизмов будут обозначаться латинской буквой I и дополняться буквенной или цифровой принадлежностью к соответствующей точке или звену (например, Igc, I1).

!

Необходимо различить два вида индекса: матричный индекс и индекс скалярной переменной (см. лабораторную работу №1). Матричный индекс используется для создания элемента матрицы (вектора) или выделение элемента из матрицы (вектора), индекс скалярной переменной – для более наглядного представления вводимых или выводимых величин. В последующих лабораторных работах при вводе нижних цифровых или буквенных индексов в имени переменной будут использоваться только индексы скалярной переменной, а при выводе координат вектора – только матричные индексы.

Анализ всех 2D рычажных механизмов будут выполняться в правой декартовой системе координат, где используются следующие направления осей: ось X направлена вправо, ось Y направлена вверх, ось Z направлена на наблюдателя.

Сформированные исходные данные, потребные для проведения кинематического анализа рычажного механизма предложенным векторным методом исследования, согласно принятым условным обозначениям, приведены на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Формирование исходных данных согласно принятым условным обозначениям

Создание функций пользователя

Несмотря на довольно широкий набор встроенных функций в системе MathCAD, очень часто возникает необходимость расширить его новыми функциями, представляющими интерес для пользователя. Так называемые «функции пользователя» вводятся в соответствии с выражением (2.1):

где Имя функции – любой идентификатор; Список аргументов – перечень используемых в выражении переменных, записанных через запятую; Выражение – любое выражение, содержащее доступные системе операторы и функции с операндами и аргументами, указанными в списке параметров.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Определим в системе MathCAD несколько так называемых «функций пользователя», использование которых значительно ускорит процесс создания математических моделей рычажных механизмов в привычной для инженерных расчетов форме.

Для вывода проекций любого вектора по осям выбранной декартовой системы координат введем следующие параметры:

где ORIGIN – встроенная функция в системе MathCAD от которой зависит порядковый номер первого элемента в векторе.

!

Как известно система MathCAD (как и многие аналогичные математические пакеты) при работе с угловыми величинами требуют ввода величины угла в радианах, что несколько затрудняет привычный математический расчет. Кроме того, в системе MathCAD имеется ряд встроенных тригонометрических функций, также отличающихся от привычной математической записи.

Определим привычные математические записи тригонометрических функций, которые будут использованы в дальнейших расчетах:

где deg – встроенная функция в системе MathCAD для перевода градусов в радианы и обратно.

Для векторного метода исследования рычажных механизмов, основанном на векторном анализе и векторном преобразовании координат, в системе MathCAD воспользуемся следующими сведениями. Если исходный вектор r, лежащий в плоскости XY повернуть на угол α вокруг оси Z с изменением или без изменения его длины, то получится новый вектор ρ, координаты которого можно представить следующим выражением, которое назовем «функцией поворота вектора»:

где r – исходный поворачиваемый вектор; α – угол поворота исходного вектора. При осуществлении поворота вектора против часовой стрелки, значение угла α принимается со знаком «+», при повороте по часовой стрелки – со знаком «-»; NLeng – новая длина вектора.

В выражении (2.4) первый множитель представляет собой матрицу направляющих косинусов (матрица поворота), а входящие в нее элементы называются направляющими косинусами координатных осей. Второй элемент представляет собой исходный поворачиваемый вектор, а третий элемент – масштабный коэффициент поворота.

На рисунке 2.2 графически показан поворот вектора r на угол α без изменения его длины и с изменением длины.

а)                                        б)
а – без изменения длины; б – с изменением длины
Рисунок 2.2 – Графический поворот вектора вокруг оси Z

Единичные орты осей координат обозначим как:

Орт вектора будет определяться по выражению:

где r – исходный вектор.

Выражение для вычисления угла треугольника (длина любой из сторон которого должна быть меньше суммы двух других) по теореме косинусов имеет вид:

где L1 и L2 – стороны треугольника, прилежащие к искомому углу; L3 – сторона треугольника, противолежащая искомому углу.

!	Как известно скорость – это первая производная от перемещения, а ускорение – вторая производная. При расчете в системе MathCAD для нахождения производных используется встроенная функция дифференцирования.

Если известен вектор r(t), который описывает абсолютную (относительную) координату некоторой точки или звена, то, взяв от этого вектора первую и вторую производную по обобщенной координате можно определить аналоги абсолютной (относительной) скорости и ускорения этой точки или звена (первую и вторую передаточные функции):

где r – вектор точки или звена; t – обобщенная координата.

Для определения аналога угловой скорости некоторого звена, необходимо орт вектора этого звена умножить векторно на аналог скорости звена и результирующий вектор разделить на модуль вектора звена:

где Va(r,t) – вектор аналога скорости звена; r – вектор звена; t – обобщенная координата.

Если известен аналог угловой скорости некоторого звена, то, взяв от этого аналога первую производную по обобщенной координате, можно определить аналог углового ускорения этого звена:

Аналоги угловой скорости и углового ускорения некоторого звена имеют векторную размерность и для 2D математической модели рычажного механизма, выполненной в правой декартовой системе координат, направлены по оси Z.

Для того чтобы от аналогов скоростей (линейных и угловых) точек и звеньев механизма перейти к истинным значениям необходимо найденные аналоги умножить на скорость входного звена (скорость изменения обобщенной координаты) рычажного механизма.

Для того чтобы от аналогов ускорений (линейных и угловых) точек и звеньев механизма перейти к истинным значениям необходимо найденные аналоги умножить на скорость входного звена (скорость изменения обобщенной координаты) рычажного механизма в квадрате.

Аналоги скоростей и ускорений неразрывно связаны с так называемыми передаточными отношениями механизма, которые часто используются в процессе проектирования и сравнения одинаковых по структуре схем рычажных механизмов. Передаточные отношения характеризуют кинематические свойства рычажного механизма и не зависят от скорости изменения обобщенной координаты.

Из курса «Теория механизмов и машин» известно, что передаточное отношение некоторого звена или точки численно равно скорости изменения длины этого звена или скорости изменения положения точки при условии, что относительная скорость движения обобщенной координаты равна нулю. Поэтому передаточное отношение представляет собой аналог скорости соответствующего звена или точки.

Изложенный в последующих лабораторных работах векторный метод исследования рычажных механизмов (метод, алгоритм и программная реализация), основанный на векторном анализе и векторном преобразовании координат, был разработана к.т.н. Чупрыниным Ю.В. и успешно внедрен в производство.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Дополнить файл-заготовку оставшимися тригонометрическими функциями – tg(x), ctg(x), arctg(x), arcctg(x).

2. По мере освоения последующих лабораторных работ обновлять файл-заготовку дополнительными функциями пользователя.

3. Сделать выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Принятые условные обозначения в разрабатываемых математических моделях рычажных механизмах.

2. Область применения матричного индекса и индекса скалярной переменной, их отличия.

3. Порядок создания функций пользователя.

4. Сущность векторного метода преобразования координат. Функция поворота вектора.

5. Орт вектора и единичные орты осей координат.

6. Теорема косинусов.

7. Определение аналогов и действительных линейных скоростей и ускорений векторов точек рычажного механизма.

8. Определение аналогов и действительных угловых скоростей и ускорений векторов звеньев рычажного механизма.

9. Определение действительных скоростей и ускорений (линейных и угловых) векторов точек или звеньев рычажного механизма.

10. Передаточные отношения рычажного механизма.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Данные лабораторные работы были разработаны автором в рамках преподавания курса «Математическое моделирование» на кафедре «Сельскохозяйственные машины» в ГГТУ имени П.О. Сухого в период 2005-2008 гг. для студентов дневной и заочной формы обучения. В данных лабораторных работах максимально учтены все замечания, выявленные в процессе обучения, но сохранена форма изложения материала, для передачи духа того времени.

Ссылка на лабораторную работу №2 в формате *.pdf

Ссылка на карточки защиты лабораторной работы №2 в формате *.pdf