Аналитический способ определения особых точек при исследовании плоских рычажных механизмов сложной структуры

Авторы: Котов А.В.

Научный руководитель: Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Представлен аналитический способ определения положения особых точек плоских рычажных механизмов с группой Ассура III класса. Знание координат этих точек позволяет применить классические методы исследования механизмов II класса для определения кинематических и силовых характеристик.

Введение

Метод особых точек является одним из основных методов кинематического исследования рычажных механизмов с группой Ассура III класса. Данный метод основан на том, что в каждой группе Ассура III класса существуют особые точки, которые принадлежат базисному звену группы и находятся как точка пересечений линий двух любых поводков группы Ассура III класса [1, 2]. Особые точки нашли широкое применение при графоаналитическом методе исследования данных механизмов благодаря своей простоте и наглядности. Относительно невысокая точность и необходимость использования графического построения каждый раз для нового положения рычажного механизма существенно увеличивает трудозатраты при выполнении кинематического и силового анализа механизма и ограничивают применение данного метода на практике. В последнее время в связи с широким внедрением математических пакетов и языков программирования произошел заметный скачок в применении аналитических методов исследования плоских рычажных механизмов сложной структуры [3, 4]. Однако, метод особых точек не нашел своей аналитической реализации и остается актуальной научной и инженерной задачей.

Цель исследования

Определение аналитическим способом координат особых точек группы Ассура III класса.

Постановка задачи

Рассмотрим плоский рычажный механизм с группой Ассура III класса, кинематическая схема которого приведена на рис. 1. Данный механизм состоит из начального механизма I (0, 1) и структурной группы Ассура III (2 - 5). На рис. 1 показана графическая интерпретация определения положения особых точек базисного звена 3 группы Ассура III класса, которые находятся на пересечении продолжений линий двух его любых поводков: S1 (на пересечении звеньев AB и FC), S2 (на пересечении звеньев FC и ED) и S3 (на пересечении звеньев ED и AB).

Рис. 1. Схема определения положения особых точек базисного звена

Будем считать, что для данного механизма выполнена 1-я задача кинематического анализа: известны координаты всех характерных точек рассматриваемого рычажного механизма. Определим аналитически параметры векторов трех рассматриваемых особых точек.

Методы исследований

Для аналитического определения особых точек будут использоваться теоретические сведения из векторной алгебры и аналитической геометрии [5]. Пусть в рассматриваемой декартовой системе координат имеем два непараллельных друг другу вектора AB и CD (для упрощения записи верхний значок вектора «®» при описании в тексте символьных обозначений будет опущен), начало и конец которых заданы двумя радиус-векторами (соответственно rA, rB и rC, rD, см. рис. 2). Требуется найти радиус-вектор rS, характеризующий положение точки S. В общем случае данная точка может находиться на продолжении векторов AB и CD (см. рис. 2, а) или лежать на их пересечении (см. рис. 2, б).

Рис. 2. Графическое пояснение к нахождению радиус-вектора точки пресечения двух векторов: a – на продолжении векторов; б – на пересечении векторов

Из аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящей через две точки [5], используя которое и ряд математических преобразований можно найти на плоскости точку пересечения двух непараллельных прямых. Указанное уравнение можно представить в более компактной форме, применив известные правила векторного и скалярного произведения, получив выражение для нахождения радиус-вектора точки пересечения двух векторов, каждый из которых задан двумя радиус-векторами. Приведем здесь итоговую формулу для определения радиус-вектора точки пересечения двух векторов (см. рис. 2).

где rA, rB, rC и rD – соответственно радиус-векторы точек первого и второго вектора; eZ – единичный вектор (орт) для неподвижной оси Z принятой декартовой системы координат.

Выражение (1) является универсальным и может применяться для нахождения радиус-вектора rS точки пересечения двух векторов, лежащей как на их продолжении (см. рис. 2, а), так и на их пересечении (см. рис. 2, б).

Результаты и обсуждение

Приведем здесь результаты аналитического способа определения особых точек для рассматриваемого рычажного механизма (см. рис. 1) со следующими входными параметрами (размерность всех величин здесь и далее указана в миллиметрах):

Из решения 1-й задачи кинематики находим следующие векторы характерных точек структурной группы Ассура III класса (представлены в транспонированном виде):

Тогда радиус-векторы особых точек, рассчитанные с помощью выражения (1), имеют следующие значения:

Был выполнен сравнительный анализ определения особых точек представленным аналитическим способом и для классического метода [1], используя графические построения в среде КОМПАС-3D. Полученные результаты практически полностью совпадают, а полученная погрешность находится в пределах погрешности графического построения. Представленный аналитический способ определения радиус-векторов особых точек рычажного механизма с группой Ассура III класса может быть алгоритмизирован в любом математическом пакете. Например, для математического пакета MathCAD, выражение (1) можно представить в виде следующей пользовательской функции Cross:

Для данной функции входными параметрами будут являться радиус-векторы точек шарниров двух звеньев рычажного механизма, а выходным – рассчитанный радиус-вектор особой точки. Используя трижды указанную функцию (2), находим положение радиус-векторов трех особых точек для рассматриваемого рычажного механизма:

Выводы

Предложенный аналитический способ позволяет доступно и наглядно определять положение особых точек группы Ассура III класса. Данный способ легко поддается формализации и алгоритмизации с применением математических пакетов (MathCAD, Maple, Mathematica и др.) и может найти свое применение для решения 2-ой и 3-ей задачи кинематического, а также динамического анализа механизма.

Список литературы

1. Артоболевский, И.И. Теория механизма и машин: учебник / И.И. Артоболевский. 4-е изд., перераб. и доп. / Репринтное воспроизведение издания 1988 г. – М.: Транспортная компания, 2023. – 640 с.

2. Кошель, С.А. Определение ускорений точек сложных плоских механизмов графоаналитическим способом / С.А. Кошель, А.В. Кошель // Вестник Витебского государственного технологического университета. – 2015. – № 2(29). – С. 55-62.

3. Кіницький, Я.Т. Аналітичне дослідження кінематики механізмів ІІІ класу з використанням системи MathCAD / Я.Т. Кіницький, М.В. Марченко, В.О. Харжевський // Вісник Хмельницького національного університету. Технічні науки. – 2013. – №. 6(207). – С. 7-10.

4. Мацюк, И. Н. Кинематический анализ плоских рычажных механизмов высоких классов в программе MathCAD / И. Н. Мацюк, В. М. Третьяков, Э. М. Шляхов // Теория меха-низмов и машин. – 2012. – Т. 10, № 1(19). – С. 65-70.

5. Корн, ГА. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Опреде-ления. Теоремы. Формулы / Г. Корн, Т. Корн; [Пер. И. Г. Арамановича (ред. пер.) и др.]. - 6. изд., стер. – СПб. [и др.]: Лань, 2003. – 831 с.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Для цитирования данной работы:

Котов, А.В. Аналитический способ определения особых точек при исследовании плоских рычажных механизмов сложной структуры // XXV Международной научно-технической конференции студентов, аcпирантов и молодых ученых «Исследования и разработки в области машиностроения, энергетики и управления», Гомель, 24–25 апр. 2025 г. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2025. – С. [работа находится в печати].

Ссылка на оригинальную работу в формате *.pdf