Авторы: Котов А.В.
Представлен аналитический метод силового анализа плоских рычажных механизмов с одной степенью свободы, основанный на векторном методе. На примере двухповодковой структурной группы изложена методика нахождения векторов реакций во всех ее кинематических парах, сохраняя при этом наглядность и последовательность решения присущую графоаналитическому методу планов сил. Дается оригинальное аналитическое описание для нахождения векторов тангенциальных и нормальных составляющих реакций в кинематических парах. Применение предложенного метода силового анализа позволяет находить вектора реакций в кинематических парах без составления и решения сложных систем уравнений равновесия или графического построения. Адаптация предложенного силового анализа в современных математических пакетах позволяет в короткие сроки и с высокой точностью проводить исследование плоских рычажных механизмов с одной степенью свободы.
Введение
Как известно силовой анализ любого рычажного механизма состоит в определении реакций в его кинематических парах, а также для ряда задач в определении уравновешивающей силы или момента, приложенных к начальному звену. Знание реакций в кинематических парах механизма имеет большое практическое значение для расчетов звеньев на прочность, жесткость, долговечность и др. подобных расчетов.
В учебной практике наибольшее распространение получили графоаналитические методы силового анализа рычажных механизмов [1, 2]. Однако, несмотря на свою наглядность, доступность и простоту главным недостатком данных методов является их относительно невысокая точность. Именно поэтому с развитием в инженерной практике компьютерных технологий, графоаналитические методы анализа рычажных механизмов практически полностью уходят на второй план, уступая место различным аналитическим методам и программным комплексам динамического анализа систем твердых тел (MSC.ADAMS, RECURDYN, EULER и др.), принцип работы которых предполагает автоматизированное нахождение реакций в кинематических парах механизма.
Как правило, сущность всех известных аналитических методов силового анализа рычажных механизмов состоит в составлении системы уравнений равновесия для каждой отдельной структурной группы с дальнейшим решением полученных уравнений с помощью различных математических пакетов [3 - 5]. Причем в зарубежных работах [6, 7] для аналитического решения данных уравнений равновесия предпочтение отдается методу решения через обратную матрицу. Существенным недостатком указанных аналитических методов является необходимость решения большого числа уравнений равновесия, от правильного составления которых зависит получение окончательного результата. Поэтому разработка универсальных, удобных и наглядных аналитических методов силового анализа рычажных механизмов является все еще актуальной инженерной задачей.
В данной работе предлагается аналитический метод силового анализа плоских рычажных механизмов векторным методом, позволяющий определять во всех кинематических парах неизвестные вектора реакций и их составляющие (тангенциальные и нормальные). При этом полностью сохраняется последовательность решения присущая графоаналитическому методу плана сил, что позволяет сохранить его важное качество – наглядность.
Постановка задачи
Последовательность проведения силового анализа векторным методом рассмотрим на примере определения векторов реакций (без учета сил трения) во всех внутренних и внешних кинематических парах двухповодковой структурной группы, получившей наибольшее распространение в машиностроении, расчетная схема которой приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Расчетная схема двухповодковой структурной группы
Figure 1 – Analytical model of a two-drive structural group
На приведенной расчетной схеме (см. рисунок 1) вектора, обозначенные буквами G и Ф с i-ым индексом, соответствуют векторам силы тяжести и силы инерции, приложенными в соответствующей i-ой точке. Вектор, обозначенный буквой M с j-ым индексом, соответствует вектору момента сил, приложенному к соответствующему j-ому звену и направленному вдоль оси Z. При этом положительное значение вектора момента будет соответствовать его вращению против хода часовой стрелки, а отрицательное значение – по ходу часовой стрелки, если смотреть на острие оси Z. Принятое для плоской расчетной схемы условное графическое изображение векторов моментов сил (с учетом их направления) поясняется в верхнем правом углу рисунка 1. Стоит также отметить, что в общем случае наряду с векторами инерционных нагрузок в силовом анализе могут использоваться и другие вектора внешних сил, приложенные к произвольным точкам рассматриваемой структурной группы.
Будем считать, что для некоторого плоского рычажного механизма заранее уже выполнен кинематический анализ, после которого, для одного из положений механизма, требуется провести силовой анализ его двухповодковой структурной группы предложенным векторным методом. В работах [8 - 11] представлен векторный метод исследования рычажных механизмов, основанный на применении векторного анализа и векторного преобразования координат, логическим продолжением которого является предложенный метод силового анализа. Проведенный кинематический анализ предполагает, что известны все векторы линейных и угловых ускорений характерных точек и звеньев механизма, а, следовательно, известны все векторы сил инерции, приложенные к центрам масс, а также векторы моментов сил инерции звеньев.
Согласно рисунку 1 рассматриваемая структурная группа лежит в плоскости XY правой декартовой системы координат, начало которой совпадает с шарниром А, а ось Z направлена на наблюдателя. Действие отброшенных звеньев в шарнирах B и C (показаны пунктирными линиями в отличие от штрихпунктирных линий, изображающих тела, жестко связанные со звеньями AB и AC) представим в виде реакций (неизвестными, как по модулю, так и по направлению), которые разложим на вектора нормальных и тангенциальных составляющих, направив их вдоль и перпендикулярно к соответствующим звеньям.
Аналитические зависимости
Единичный вектор (орт) любого произвольного вектора будет находиться путем деления данного вектора на его длину:
где V – исходный произвольный вектор (значок вектора «→» опущен).
Единичные орты для каждой неподвижной оси принятой декартовой системы координат, представим в виде транспонированных векторов (для более компактной записи):
Силовой анализ
При проведении силового анализа плоского рычажного механизма векторным методом последовательно рассматривается равновесие каждой его отдельной структурной группы в порядке обратном кинематическому анализу, т.е. начиная с последней присоединительной структурной группы, к которой будем считать относится рассматриваемая двухповодковая структурная группа. Такой порядок вызван тем, что в начале проведения силового анализа последняя присоединительная структурная группа имеет связи только с предшествующей структурной группой, а, следовательно, является статически определимой [2, 12]. В случае если двухповодковая структурная группа не является последней присоединительной структурной группой, то перед проведением ее силового анализа векторным методом необходимо заранее найти все неизвестные вектора реакций в шарнирах, действующих со стороны последующих присоединенных структурных групп.
В предложенном силовом анализе векторным методом первым подлежащим определению является вектор тангенциальной составляющей реакции в кинематической паре, который находится для каждого отдельного звена структурной группы путем составления уравнения равновесия моментов сил относительно внутренней кинематической пары с последующим его решением. При составлении уравнений равновесия моментов сил воспользуемся известным свойством векторного произведения двух векторов [13]. Если первый множитель векторного произведения представляет собой радиус-вектор точки приложения вектора силы, а второй – вектор самой этой силы, то результатом такого векторного произведения будет являться вектор момента, направленный перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов.
Используя вышеописанное свойство векторного произведения, определим для каждого из звеньев рассматриваемой структурной группы (см. рисунок 1) суммарный вектор моментов от всех известных силовых факторов (векторов сил и моментов), действующих на звенья AB и AC относительно их общего шарнира A:
Вектора неизвестных тангенциальных составляющих реакций в шарнирах B и C представим в виде произведения их длин (модулей) на единичные векторы (орты) их направления, которые заранее известны (перпендикулярны звеньям AB и AC):
Единичные вектора (орты) тангенциальных составляющих реакций в шарнирах B и С можно найти различными способами, например, используя разложение на плоскости скалярного произведения в координатной форме [14]:
В правой части выражений (6) в скобках определены произвольные вектора, перпендикулярные соответственно звеньям AB и AC. После чего, с помощью выражения (1), для данных векторов находятся единичные вектора (орты) тангенциальных составляющих реакций в шарнирах B и C. Используемое в выражении (6) скалярное произведение векторов звеньев AB и AC на орты осей X и Y, дает в соответствии со свойством скалярного произведения [13] проекции данных векторов на каждую из осей принятой системы координат с учетом его направления (знака).
Используя выражения (3) – (6) модули векторов тангенциальных составляющих реакций в шарнирах B и C рассматриваемой структурной группы представим в следующем векторном виде:
В результате с помощью выражений (7) для звеньев AB и AC рассматриваемой структурной группы (см. рисунок 1) находятся скалярные значения модулей векторов тангенциальных составляющих реакций в шарнирах B и C, а с помощью выражений (5) – соответствующие им вектора.
Далее найдем вспомогательный вектор силы, равный сумме всех известных векторов сил, действующих на рассматриваемую структурную группу (включая векторы найденных тангенциальных составляющих реакций в шарнирах B и C), но взятым с противоположным знаком:
Согласно принципу построения плана сил при графоаналитическом методе силового анализа [12], стрелки всех известных векторов сил должны соответствовать одному направлению обхода замкнутого векторного контура (см. рисунок 2). Поэтому знак минус в выражении (8) указывает на то, что вспомогательный вектор сил также обходит векторный контур плана сил в одном направлении с остальными векторами, а не является замыкающим.
Рисунок 2 – План сил при графоаналитическом силовом анализе
Figure 2 – Force plan for graphical-analytical force analysis
Следующим этапом проведения силового анализа векторным методом является определение нормальных составляющих реакций в шарнирах, для нахождения которых в учебной литературе не приводятся соответствующие аналитические зависимости. При графоаналитическом способе решения данной задачи на плане сил (см. рисунок 2) проводятся две прямые, совпадающие с направлением звеньев рассматриваемой структурной группы. Пересечение данных прямых дает точку, определяющую направление искомых векторов неизвестных нормальных составляющих реакций в шарнирах [12].
Представим вектора неизвестных нормальных составляющих реакций в шарнирах B и С в виде произведения их длин (модулей) на единичные векторы (орты) их направления, которые заранее известны (параллельны звеньям AB и AC):
Единичные векторы (орты) нормальных составляющих реакций в шарнирах B и C найдем с помощью выражения (1) как:
Для нахождения модулей векторов нормальных составляющих реакций в шарнирах рассматриваемой структурной группы воспользуемся еще одним свойством векторного произведения. Если в векторном произведении второй из перемножаемых векторов (вектор силы) представить в виде единичного вектора (орта), то результатом такого произведения будет новый вектор, модуль которого численно равен плечу, отложенному от первого перемножаемого вектора на единичное направление второго перемножаемого вектора. Используем это свойство для нахождения модулей векторов нормальных составляющих реакций в шарнирах B и C рассматриваемой структурной группы в следующем векторном виде:
Графические пояснения к описанным выше действиям показаны на увеличенном участке плана сил, приведенном на рисунке 3. В результате с помощью выражений (11) для звеньев AB и AC рассматриваемой структурной группы (см. рисунок 1) находятся скалярные значения модулей векторов нормальных составляющих реакций в шарнирах B и C, а с помощью выражений (9) – соответствующие им вектора.
a b
Рисунок 3 – Увеличенный участок плана сил для нахождения векторов нормальных составляющих: а – для шарнира B; b – для шарнира C
Figure 3 – Enlarged section of the force plan for finding vectors of normal components: a – for joint B; b – for joint C
Теперь, зная вектора тангенциальных и нормальных составляющих реакций в шарнирах B и С, можно определить вектора их полных реакций:
Найденные вектора полных реакций в шарнирах B и С в дальнейшем используются для силового анализа следующей присоединительной структурной группы, для которой данные вектора реакций уже будут являться внешними силовыми факторами (аналогично векторам сил тяжести или инерции), но взятыми с противоположным знаком [2, 12]. Это позволяет учесть влияние массово-инерционных характеристик рассматриваемой структурной группы на нагруженность следующей присоединительной структурной группы.
Оставшийся вектор реакции во внутренней кинематической паре (в шарнире A) найдем из уравнения равновесия сил, действующих на одно из звеньев:
Таким образом, с помощью выражений (3) - (13) проведен полный силовой анализ рассматриваемой структурной группы предложенным векторным методом. Как видно, достоинством данного метода является простота и наглядность, а также высокая точность получаемых результатов т.к. все значения реакций находятся аналитически без использования графических построений.
Стоит отметить, что в случае, если структурная группа содержит звено ползун, то для такого звена порядок нахождения векторов тангенциальной и нормальной составляющей предложенным векторным методом будет немного отличаться. Для звена ползун вектор тангенциальной составляющей будет равен нулю, а вектор нормальной составляющей будет определяться направлением, перпендикулярным оси направляющей движения ползуна.
Представленный порядок нахождения векторов тангенциальных (см. выражения (3) - (7)) и нормальных (см. выражения (8) - (11)) составляющих реакций легко может быть алгоритмизирован в любом математическом пакете или языке программирования, что позволяет существенно сократить большое число промежуточных вычислений. Например, на рисунке 4 показан пример реализации в математическом пакете PTC MathCAD двух функций пользователя, позволяющих рассчитывать вектора тангенциальных и нормальных составляющих реакций в шарнирах структурной группы плоских рычажных механизмов [15]. Для приведенных функций пользователя в качестве входных параметров выступают: P0 – вектор точки общего шарнира; P1 и P2 – вектора точек шарниров, в которых требуется найти вектора реакций; PF и F – соответственно массивы векторов-точек и векторов-сил внешних нагрузок; M – суммарный вектор моментов сил; R012 – вспомогательный вектор силы; P – оператор, отвечающий за вывод вектора нормальной составляющей реакции для интересующего шарнира.
a
b
Рисунок 4 – Функции пользователя для нахождения векторов реакций в шарнирах: a – тангенциальных составляющих; b – нормальных составляющих
Figure 4 – User functions for finding reactions vectors in joints: a – tangential components; b – normal components
Результаты и их обсуждение. Используя приведенные на рисунке 4 функции пользователя, покажем, как будет выглядеть аналитическое описание предложенного силового анализа векторным методом, а также полученные результаты расчета. Принятые в качестве примера исходные данные необходимые для расчета рассматриваемой структурной группы (см. рисунок 1) приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные для расчета рассматриваемой структурной группы
Table 1 – Initial data for calculating the structural group under consideration
Аналитическое описание нахождения векторов тангенциальных и нормальных составляющих реакций в шарнирах B и C рассматриваемой структурной группы векторным методом (с использованием функций пользователя), примет следующий вид:
Для нахождения векторов полных реакций в шарнирах B и C можно воспользоваться выражениями (12), а для нахождения вектора полной реакции в общем шарнире A – выражениями (13). Результаты проведенного силового анализа предложенным векторным методом приведены в таблице 2.
Проверка адекватности
Проверка адекватности полученных значений векторов тангенциальных и нормальных составляющих реакций в шарнирах проводилась известным графоаналитическим способом, путем построения плана сил (см. рисунок 2) и соответствующих измерений проекций интересующих векторов. Так на рисунке 3 в качестве примера на увеличенном участке плана сил, показаны значения проекций векторов нормальных составляющих реакций в шарнирах B и С по координатным осям, которые полностью совпадают с результатами, полученными аналитическим путем (см. таблицу 2). Аналогичную проверку можно провести при помощи различных программных комплексов динамического анализа систем твердых тел или в конечно-элементных пакетах. Так на рисунке 5 приведена рассматриваемая структурная группа с учетом всех приложенных нагрузок, а также с автоматически выведенными значениями реакций в шарнирах B и C, разложенными на тангенциальные и нормальные составляющие, значения которых также полностью совпадают с аналитическими результатами. Кроме того, адекватность представленного силового анализ векторным методом подтверждена многолетним опытом его применения автором на практике.
Выводы
В данной работе на примере двухповодковой структурной группы представлен аналитический метод силового анализа плоских рычажных механизмов, основанный на векторном методе. Рассмотрен частный случай силового анализа, при котором двухповодковая структурной группы является последней присоединительной структурной группой плоского рычажного механизма. Предложенный силовой анализ позволяет с помощью оригинальных аналитических выражений для нахождения векторов нормальных и тангенциальных составляющих реакций доступно и наглядно определять силовые нагрузки, действующие во всех кинематических парах. Этот метод легко поддается формализации и алгоритмизации в любых современных математических пакетах и языках программирования, а также позволяет применять различные методы оптимизации и параметризации для решения поставленной технической задачи. Предложенный силовой анализ плоских рычажных механизмов векторным методом может найти свое применение, как в учебной, так и в инженерной практике несмотря на то, что в настоящее время все более широкое распространение получают программные комплексы динамического анализа систем твердых тел.
Список литературы
1. Коловский М.З., Евграфов А.Н., Семенов Ю.А. и др. Теория механизмов и машин: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. Москва: Академия, 2008.
2. Черная Л.А., Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование: учеб. пособие. Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019.
3. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе MathCAD. Практикум. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005.
4. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Статика механизмов // Теория механизмов и машин. - 2006. - Т. 4, № 2(8). - С. 47-58.
5. Кiницький Я.Т., Харжевський В.О., Марченко М.В. Теорiя механiзмiв i машин в системi MathCAD: навч. посiб. Хмельницький: ХНУ, 2014.
6. Umbetkulov Y., Yeleukulov Y., Atalykova A., Smailova G., et al. Dynamic force analysis of a six-link planar mechanism. MATEC Web of conferences. - 2018. - Vol. 251 (04028). - P. 1-12. doi: 10.17816/matecconf/201825104028.
7. Nguyen P.D., Nguyen V.K. Dynamic force analysis of a six-link planar mechanism under consideration of friction at the joints. Vietnam Journal of Mechanics. - 2004. - Vol. 26. - N. 2. - P. 65-75.
8. Дюжев А.А., Котов А.В., Чупрынин Ю.В. Обеспечение универсальности навесного устройства энергосредства УЭС-2-250А «Полесье» с целью создания сельскохозяйственных агрегатов модульного типа // Энергосберегающие технологии и технические средства в с.-х. производстве: докл. междунар. науч.-практ. конф.: в 2 ч. Минск, 2008. Ч. 1. - С. 78–74.
9. Бобыренко С.В., Котов А.В. Моделирование процесса работы механизма подпрессовки питающего аппарата кормоуборочного комбайна // Вестник БРУ, 2010. № 1(30). - С. 18–26.
10. Джасов Д.В., Конявский А. Д., Шантыко А. С., Чупрынин Ю. В. Математическая модель механизма уравновешивания и подъема косилки-плющилки ротационной / Актуальные вопросы машиноведения: сб. науч. тр. / Объедин. ин-т машиностроения НАН Беларуси; редкол.: С.Н. Поддубко [и др.]. - 2020. - Т. 9. - С. 27-30.
11. Котов А.В. Оптимизация параметров предохранительного элемента пальчикового механизма шнека жатки зерноуборочного комбайна // Тракторы и сельхозмашины. - 2023. - Т. 90. - №1. - C. 13-24. doi: 10.17816/0321-4443-114970.
12. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин: учеб. для втузов. Москва: Наука, 1988.
13. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: учеб. для вузов. Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
14. Епихин В.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач: учеб. пособие. Москва: КНОРУС, 2021.
15. Воскобойников Ю.Е., Задорожный А.Ф. Основы вычислений и программирования в пакете MathCAD PRIME: учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Лань, 2023.
Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.
Для цитирования данной работы:
Котов, А. В. Cиловой анализ плоских рычажных механизмов векторным методом / А. В. Котов // Механика машин, механизмов и материалов. – 2024. – № 2(67). – С. 36-43. – DOI 10.46864/1995-0470-2024-2-67-36-43.
Комментариев нет:
Отправить комментарий