Авторы: Котов А.В., Чупрынин Ю.В.
Представлен метод векторного анализа пространственных рычажных механизмов на примере механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата. Для данного механизма приведено аналитическое описание его кинематики в векторах, а также проведен анализ его кинематического режима работы. Использование предлагаемого метода в современных математических пакетах позволяет в короткие сроки и с высоким качеством создавать оптимальные и конкурентоспособные системы пространственных рычажных механизмов для сельскохозяйственных агрегатов.
Введение
Среди систем рычажных механизмов современных сельскохозяйственных агрегатов особое место занимают пространственные рычажные механизмы. Известными примерами пространственных рычажных механизмов являются: механизмы поворота рулевой трапеции, механизмы подъема-опускания и позиционирования рабочих органов, механизмы уравновешивания и многие другие с самым разнообразным функциональным назначением.
Если сегодня на этапе предварительного проектирования конструирование пространственных рычажных механизмов осуществляется в специализированных CAD-системах в режиме построения наглядного изображения на экране, то выбор оптимальных геометрических параметров кинематической схемы пространственных рычажных механизмов и анализ ее работы представляет собой весьма сложную задачу.
Известные аналитические методы описания кинематики рычажных механизмов в подавляющем большинстве ориентированы на плоские расчетные схемы и не отличаются наглядностью, а также не поддаются формализации и алгоритмизации в современных математических пакетах и языках программирования. Отсутствие на сегодняшний день полно-ценного и доступного метода аналитического описания кинематики пространственных рычажных механизмов приводит к тому, что исследуемые пространственные системы с рядом допущений сводятся к плоским расчетным схемам, что при определенных условиях может существенно повлиять на точность конечных результатов.
В данной работе представлен метод аналитического описания пространственного рычажного механизма, основанный на применении векторного анализа, который успешно применяется в ГСКБ по зерно- и кормоуборочной технике с конца 90-х годов при проектировании рычажных механизмов сельскохозяйственных агрегатов [1, 2]. Предлагаемый векторный метод исследования рычажных механизмов является универсальным и может быть успешно применен как для описания кинематики пространственных, так и плоских рычажных систем.
Постановка задачи
В современном сельскохозяйственном машиностроении в качестве элементов привода режущего аппарата уборочных машин нашли широкое применение следующие типы как плоских, так и пространственные рычажные механизмы: кривошипно-ползунный, кривошипно-коромысловый и кривошипно-кулисный. Однако подавляющее большинство используемых механизмов привода режущего аппарата относится к кривошипно-ползунным.
Разновидностью кривошипно-ползунного механизма является механизм качающейся шайбы, который представляет собой пространственный сферический рычажный механизм. Данный тип привода преобладает в конструкциях жаток для уборки трав как отечественных, так и зарубежных производителей. На рис. 1 приведена схема привода режущего аппарата жатки для уборки трав производства ПО «Гомсельмаш» по типу механизма качающейся шайбы.
Рис. 1. Механизм качающейся шайбы привода режущего аппарата жатки для уборки трав:
1 – качающаяся шайба; 2 – вилка; 3 – хвостовик; 4 – клеммовый поводок; 5 – серьга; 6 – направляющая; 7 – режущий аппарат
Практика эксплуатации приводов режущих аппаратов позволяет сформулировать основные кинематические требования, предъявляемые к рациональному приводу ножа:
– привод должен сообщать ножу максимально постоянную скорость на участках резания, не ниже минимально допустимой;
– инерционные нагрузки, действующие на все звенья привода, должны быть минимальными, а сила инерции ножа – направленной вдоль линии перемещения.
Однако, на сегодняшний день не существует приемлемых методик, позволяющих с помощью аналитических преобразований полностью описать кинематику механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата, который отличается своим пространственным расположением, и проверить данный механизм на соответствие сформулированным выше кинематическим требованиям.
Цель статьи – дать описание разработанной методики анализа кинематики пространственных рычажных механизмов с помощью аналитических преобразований на примере механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата.
Аналитические зависимости и условные обозначения
Пусть задана система координат Σ={O, x, y, z}, состоящая из трех координатных осей x, y, z, пересекающихся в точке начала координат O, и вектор n, который проходит через начало заданной системы координат (рис. 2).
Рис. 2. Графический вид пространственного поворота системы координат
Положение вектора n однозначно определяется единичным вектором en, составляющие которого (направляющие косинусы) в заданной системе координат Σ={O, x, y, z} известны и могут быть найдены как:
Поворот системы координат Σ={O, x, y, z} вокруг вектора n, проходящего через точку начала координат O, на угол θ переводит ее в новую систему координат Σ’={O, x’, y’, z’} (см. рис. 2) при помощи следующих составляющих матрицы поворота вектора [3]:
где M(n,θ)X, M(n,θ)Y и M(n,θ)Z – составляющие матрицы поворота системы координат по осям x, y и z соответственно; Ort(n)X, Ort(n)Y и Ort(n)Z – составляющие единичного вектора по осям x, y и z соответственно; θ – угол поворота заданной системы координат.
Окончательная система аналитического преобразования координат исходного вектора трехмерного пространства в новый вектор с учетом выражений (1) – (4), путем его поворота на некоторый угол в заданном направлении и вокруг заданного вектора, может быть представлена в следующем виде:
где V – поворачиваемый вектор; n – вектор, вокруг которого осуществляется поворот; θ – угол поворота исходного вектора. Причем значение угла θ принимается со знаком «+» при осуществлении поворота исходного вектора против часовой стрелки (если смотреть на острие вектора n), а при повороте по часовой стрелки – со знаком «-».
Выражение (5) означает, что вектор V1 может быть получен из вектора V путем его пространственного поворота вокруг вектора n на угол θ. Для чего первый множитель пра-вой части выражения (5), который представляет собой матрицу поворота системы координат исходного вектора, необходимо умножить на исходный вектор, который представлен в виде второго множителя. В этом случае полученный вектор будет иметь длину такую же, как исходный вектор, но другое направление в пространстве.
Для получения повернутого в пространстве вектора, имеющего заданную длину, не равную исходному поворачиваемому вектору, необходимо полученный с помощью выражения (5) вектор умножить на длину нового вектора и разделить на модуль исходного вектора, т.е.:
где Lnew – длина нового вектора.
Определение величин углов (если они не заданы условием задачи), на которые необходимо поворачивать известные вектора для нахождения неизвестных векторов в выражении (6), будем осуществлять по теореме косинусов из треугольника с известной длиной всех сторон:
где L1 и L2 – стороны треугольника, прилежащие к искомому углу; L3 – сторона треугольника, противолежащая искомому углу.
Для наглядности и простоты понимания приведенного в работе математического описания векторного анализа пространственного рычажного механизма введены следующие понятия и условные обозначения.
Вектор, обозначенный одной буквой латинского алфавита (например, A), будем называть абсолютным вектором, т.е. координатами точки относительно начала принятой системы координат. Вектор, обозначенный двумя буквами латинского алфавита (например, AB), будем называть относительным вектором, т.е. координатой второй точки относительно первой. Суть обоих введенных понятий абсолютно одинакова т.к. и вектор называемый абсолютным, и вектор называемый относительным – это координата одной точки относительно другой.
Длины звеньев будут обозначаться тремя буквами латинского алфавита, первая буква L, две следующие соответствуют названию точек механизма, которые соединяет данное звено (например, LAB).
Углы между звеньями механизма будут обозначаться тремя буквами латинского алфавита (например, ABC), причем средняя буква соответствует вершине угла.
Кинематический анализ механизма
Механизм качающейся шайбы, представленный на рис. 3, преобразует через систему звеньев вращательное движение приводного вала в колебательное движение ножа. На кривом конце вала 1 механизма качающейся шайбы (см. рис. 3, а), установленного в подшипниках опорах 2, насажена качающаяся шайба 3, плоскость которой расположена под некоторым углом к оси приводного вала. Качающаяся шайба имеет две цапфы 4, на которые надета вилка 5, хвостовик 6 которой установлен в подшипниковой опоре 7. На конце хвостовика вилки имеется клеммовое соединение в виде короткого поводка 8, который через серьгу 9 и направляющий поводок 10 приводит в движение нож 2 режущего аппарата. Оси приводного вала, качающейся шайбы и хвостовика вилки пересекаются в одной точке B (см. рис. 3, б), а сами звенья перемещаются в разных плоскостях. При этом ось хвостовика вилки всегда остается перпендикулярной оси приводного вала.
а) б)
Рис. 3. Схема механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата:
a – конструктивная схема; б – конструктивная схема с наложенными кинематическими связями
1 – приводной вал; 2, 7 – подшипниковые опоры; 3 – качающаяся шайба; 4 – цапфы качающейся шайбы; 5 – вилка; 6 – хвостовик вилки; 8 – клеммовый поводок; 9 – серьга; 10 – направляющий поводок; 11 – нож привода режущего аппарата
Механизм качающейся шайбы привода режущего аппарата работает следующим образом. При повороте приводного вала на некоторый угол, плоскость качающейся шайбы отклоняется вправо или влево от своего среднего положения. При этом вилка, связанная с цапфами качающейся шайбы, тоже поворачивает свой хвостовик в подшипниковой опоре на соответствующий угол. Поворот хвостовика вилки вызывает перемещение клеммового поводка, который через серьгу и направляющий поводок передает возвратно-поступательное движение ножу режущего аппарата.
При проведении кинематического анализа механизма качающейся шайбы примем следующие направления координатных осей: ось X направлена по ходу движения; ось Y направлена в левую сторону по ходу движения; ось Z направлена вертикально вверх. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота приводного вала φ, который однозначно определяет положение всех характерных точек механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата. На рис. 4 приведена кинематическая схема механизма качающейся шайбы с примятыми обозначениями характерных точек.
Рис. 4. Кинематическая схема механизма качающейся шайбы
При описании кинематики механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата в качестве исходных данных будут выступать координаты неподвижных точек, длины звеньев механизма и углы между отрезками на жестких звеньях.
Аналитическое описание механизма с учетом выражений (6) – (7) можно представить в следующем виде:
Выражением (9) получаем относительный вектор BC путем поворота относительного вектора AB вокруг единичного вектора eX оси X на угол α (угол наклона кривого конца приводного вала) против часовой стрелке с изменением его длины на заданную длину кривого конца вала LВС. Относительный вектор BC является вспомогательным вектором и определяет крайнее положение кривого конца приводного вала в начальный момент времени.
Выражение (9) это частный случай использования выражения (6), когда вектором, во-круг которого осуществляется поворот, является единичный вектор. В общем случае в выражении (6) поворот исходного вектора может осуществляться вокруг любого заданного или заранее определенного вектора.
Выражением (10) вычисляем относительный вектор BC:
Необходимо отметить, что положение всех подвижных точек или звеньев описываемого механизма является функцией угла поворота начального звена, т.е. функцией от обобщенной координаты. Следовательно, и все вектора, описывающие положение механизма, так же являются функциями от обобщенной координаты. Таким образом, в данной работе подразумеваются не просто вектора, а вектор-функции, которые в совокупности описывают положение всего механизма в зависимости от значения обобщенной координаты. В приведенном ниже математическом описании вектор-функциями являются все векторы, после обозначения которых в скобках указана обобщенная координата. Там где обобщенная координата после обозначения вектора отсутствует, вектор не является функцией, а является неподвижной точкой.
Выражением (11) вычисляем абсолютную координату точки C:
Наибольший интерес при описании кинематики механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата вызывает участок перехода шайба-вилка (см. рис. 4). Именно на этом участке происходит поворот передаваемого потока мощности на 90 град, что приводит к возникновению в данной зоне сосредоточенного изгибающего момента.
Как уже отмечалось выше, в зоне перехода шайба-вилка (точка B) пересекаются три оси – ось качающейся шайбы (MN), ось хвостовика вилки (BE) и ось приводного вала (AB – прямой участок вала и BC – кривой конец вала). Причем для любого угла поворота приводного вала ось хвостовика вилки (BE) всегда остается перпендикулярной оси приводного вала (AB) и расположена в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, в одной из которой расположена ось качающейся шайбы (MN), а в другой – ось кривого конца приводного вала (BC). Поэтому для описания кинематики данного участка можно воспользоваться геометрическим свойством векторного произведения:
Выражением (12) получаем относительный вектор BM, который является перпендикулярным плоскости образуемой векторами BC и BE .
С помощью следующих выражений (13) – (27) можно получить положение всех оставшихся характерных точек механизмf качающейся шайбы привода режущего аппарата в зависимости от значения угла φ поворота приводного вала. Выражениями (13) – (27) описывается кинематика всей рассматриваемой системы в целом.
где FKJ – угол между векторами KF и KJ при вершине в точке K треугольника KFJ; |KF| – модуль вектора KF, определяющий длину между двумя точками K и F; LKH и LFH – заданные длины звеньев механизмf качающейся шайбы привода режущего аппарата.
Таким образом, с помощью выражений (8) – (27) для механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата проведено аналитическое описание в векторах кинематики всей рассматриваемой системы в целом.
По аналогии с вышеприведенными выражениями (8) – (27), описывающих кинематику характерных точек механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата, можно описать положение центров тяжести всех звеньев механизма в зависимости от значения угла j поворота приводного вала (обобщенной координаты). Для этого достаточно задать привязку интересующей точки приложения центра тяжести по длине и углу к соответствующему описанному выше в кинематике звену механизма.
Анализ кинематического режима работы механизма
После описания положений всех характерных точек механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата можно перейти к нахождению их линейных скоростей и ускорений.
Если известен вектор r(j), который описывает абсолютную (относительную) координату некоторой точки или звена, то, взяв от этого вектора первую и вторую производную по обобщенной координате можно определить аналоги абсолютной (относительной) скорости и ускорения этой точки или звена w:
Для того чтобы от аналогов линейных скоростей и ускорений точек или звеньев механизма перейти к их истинным значениям необходимо найденные аналоги скоростей умножить на угловую скорость входного звена (скорость изменения обобщенной координаты механизма), а найденные аналоги ускорений умножить на квадрат этой угловой скорости (при условии, что эта скорость постоянна):
Для анализа кинематического режима работы механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата найдем линейные скорость и ускорение ножа (точка J, см. рис. 4). Согласно выражению (29) линейные скорость и ускорение ножа режущего аппарата можно найти как:
На рис. 5 приведены графики изменения линейной скорости и ускорения ножа режущего аппарата анализируемого механизма качающейся шайбы в зависимости от угла поворота приводного вала.
а)
б)
Рис. 5. Графики изменения линейной скорости и ускорения ножа режущего аппарата:
а – линейная скорость ножа; б – линейное ускорение ножа;
1 – горизонтальная составляющая скорости или ускорения; 2 – вертикальная составляющая скорости или ускорения
Согласно рекомендациям специальной литературы минимальная скорость резания, обеспечивающая чистое скашивание трав, должна составлять не менее 2,15 м/с [4]. Данному требованию удовлетворяет анализируемый механизм качающейся шайбы привода режущего аппарата травяной жатки, у которого величина максимальной линейной скорости ножа на участках резания превышает 2,15 м/с (см. рис. 5, а). Как видно из рис. 5, б, ускорение ножа режущего аппарата имеет значительную величину, что может существенно повлиять на инерционную нагруженность элементов конструкции механизма. Поэтому с целью уравновешивания горизонтальной составляющей силы инерции ножа часто используют режущий аппарат с двумя подвижными ножами, движущимися навстречу друг другу (двусторонний привод).
Приемы методики анализа пространственных рычажных механизмов, которые пред-ставленные в данной работе, были в дальнейшем использованы при оптимизации конструкции механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата травяной жатки, а также при проведении работ по полному и частичному уравновешиванию механизма.
Выводы
Представленный в работе векторный метод исследования пространственного рычажного механизма на примере механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата позволяет доступно и наглядно аналитически описывать кинематику проектируемых рычажных механизмов и осуществлять анализ их работы. Этот метод легко поддается формализации и алгоритмизации в любых современных математических пакетах и языках программирования, а также позволяет применять различные методы оптимизации для решения поставленной технической задачи. Применение данного метода по сравнению с существующими аналитическими методами позволяет в короткие сроки и с высоким качеством создавать оптимальные и конкурентоспособные системы как пространственных, так и плоских рычажных механизмов для сельскохозяйственных агрегатов, что подтверждается многолетним опытом его использования в ГСКБ по зерно- и кормоуборочной технике.
Список литературы
1. Котов, А.В. Применение векторного анализа при проектировании рычажных механизмов / А.В. Котов, Ю.В. Чупрынин // Научно-технический прогресс в сельскохозяйственном производстве: материалы Междунар. науч.-практ. конф. – Мн., 2007. – С. 32-37.
2. Котов, А.В. Применение векторного анализа для оптимизации механизма привода системы очистки зерна зерноуборочного комбайна при его проектировании / А.В. Котов, Ю.В. Чупрынин // Механика машин, механизмов и материалов. – 2009. № 2(7). – С. 43-48.
3. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
4. Практикум по сельскохозяйственным машинам: [Для с.-х. вузов по спец. «Механизация сел. хоз-ва» / В.А. Скотников, В.Н. Кондратьев, Р.С. Сташинский и др.]; Под ред. В.А. Скотникова. – Мн.: Ураджай, 1984. – 375., ил. – (Учеб. пособия для с.-х. вузов).
Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.
Для цитирования данной работы:
Котов, А.В., Чупрынин, Ю.В. Векторный анализ пространственных рычажных механизмов // Тракторы и сельхозмашины. - 2011. - Т. 78. - №12. - C. 33-38. doi: 10.17816/0321-4443-69293
Комментариев нет:
Отправить комментарий