Авторы: Чупрынин Ю.В., Котов А.В.
Представлен метод определения коэффициентов демпфирования упругих валов для использования в математической модели трансмиссии. Этот метод включает в себя методику предвари-тельного расчета коэффициентов демпфирования по массово-геометрическим характеристикам вала и коэффициентам затухания материала вала, и методику экспериментальной корректировки предварительно рассчитанных значений. Предложенный в статье подход позволяет с достаточно высокой точностью определить значение коэффициентов демпфирования упругих трансмиссионных валов.
Постановка задачи
Для численного исследования динамических процессов, происходящих в системах механических приводов, составляется система дифференциальных уравнений, описывающая движение сосредоточенных вращающихся масс, соединенных между собой упругодемпфирующими звеньями. Основными исходными данными для системы уравнений являются инерционные, упругие и демпфирующие свойства системы.
Нахождение моментов инерции вращающихся масс и крутильной жесткости валов широко описано в специальной литературе и не у кого не вызывает затруднений. Определение коэффициентов крутильного демпфирования валов в специальной литературе описано не в полном объеме, что объясняется недостаточной изученностью данного вопроса и определенными трудностями при проведении измерения физических величин, оказывающих влияние на этот параметр. В большинстве литературных источников эти коэффициенты фигурируют в математических выражениях, описывающих поведение механических систем, но не приводится описание, как определить величину этих коэффициентов.
В данной статье авторы приводят свой подход к определению коэффициентов крутильного демпфирования валов.
Аналитические зависимости
Вопрос нахождения коэффициентов демпфирования тесно связан с вопросом нахождения рассеянной энергии при закручивании упругого стержня. Рассмотрим одномассовую крутильную колебательную систему, показанную на рис.1.
Рис. 1. Схема одномассовой крутильной колебательной системы
Дифференциальное уравнение движения массы для данной системы имеет следующий вид [1, 2]:
где J – момент инерции диска; h – коэффициент крутильного демпфирования вала; c – коэффициент крутильной жесткости вала; j – угол поворота диска – обобщенная координата системы.
Дифференциальное уравнение (1) можно представить в следующем виде:
где n и k – коэффициенты, которые равные:
Тогда период свободных колебаний и круговая собственная частота системы будут равны:
где t – период свободных колебаний системы; w – круговая частота свободных колебаний.
В результате интегрирования дифференциального уравнения (2) получается уравнение угла закручивания вала в зависимости от времени:
где A1 и j0 – соответственно начальные амплитуда и фаза колебаний, которые определяются с помощью начальных условий.
Как видно из формулы (6), амплитуда колебаний все время убывает. Отношение амплитуд ji и ji+1 для i-го и (i+1)-го периода t будет равно:
Величину d в выражении (8), равную натуральному логарифму этого отношения, называют логарифмическим декрементом затухания. С его помощью можно экспериментально найти коэффициент демпфирования h для рассмотренной одномассовой системы.
С учетом выражений (3) – (5) и (8) можно получить выражения (9) и (10) для определения h.
Величина 0,25·d2, стоящая под корнем в знаменателе, характеризует изменение частоты свободных колебаний за счет рассеивания энергии системой по сравнению с системой, в которой нет затухания. При малых величинах коэффициента затухания (например, для стальных валов) при проведении практических расчетов этой величиной можно пренебречь.
Часто в технической литературе [2, 3] вместо логарифмического декремента затухания d рассматривают коэффициент поглощения y = 2·d.
Величины логарифмического декремента затухания d и коэффициента поглощения y, полученные экспериментально, приведены в различной литературе, рассматривающей вопросы внутреннего трения в материалах [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9].
Но все эти коэффициенты приведены как свойство конкретного материала при конкретных условиях вне зависимости от типа механической системы. В выражение (10) входят жесткость конкретного вала и момент инерции конкретного диска. Это значит, что коэффициент демпфирования, определенный с помощью конкретной лабораторной установки, показанной на рис. 1, будет зависеть от инерционно-жесткостных свойств данной системы и коэффициента затухания, замеренного экспериментально. Если предположить, что коэффициент демпфирования – величина неизменная для конкретного вала данной конфигурации, то декремент затухания d будет зависеть от параметров системы J, h, и c.
Это значит, что величины d и y, замеренные экспериментально в различных механических системах будут иметь различную величину.
Все механические системы являются системами с распределенными параметрами. Именно для таких систем измерялись приведенные в литературе значения коэффициентов затухания.
Рассмотрим систему с распределенными параметрами. В модели трансмиссии вал за-креплен неподвижно между двумя соседними массами. Если считать массы достаточно большими и, поэтому, неподвижными, угловые перемещения вала малыми, можно рассматривать свободные колебания вала с защемленными концами (рис. 2).
Рис 2. Расчетная схема защемленного стержня
Уравнение крутильных колебаний стержня имеет вид [2, 3]:
где J(x) – погонный момент инерции стержня относительно оси; G – модуль сдвига материала вала; Jr – экваториальный момент инерции поперечного сечения вала; L – длина вала между опорами; х – продольная координата сечения вала; t – время; j(x, t) – угол поворота сечения вала х в момент времени t; Q(x, t) – интенсивность внешней нагрузки.
Необходимое условие экстремума функционала S будет иметь вид:
Когда Q(x, t) º 0 и жесткость G·Jr постоянна по всей длине вала, то уравнение свободных колебаний однородного стержня примет вид:
где g – постоянная величина, равная:
Собственная частота 1-й формы колебаний вала, показанного на рис.2, может быть найдена по формуле [2, 3]:
В том случае, когда вал является круглым осесимметричным стержнем, погонный момент инерции стержня относительно оси равен . В этом случае формула для определения собственной частоты запишется в виде:
где r – плотность материала вала.
Уравнение (11), на основании которого была вычислена частота, является уравнением свободных колебаний вала без затухания. Если пренебречь для стального вала изменением частоты за счет внутреннего рассеивания энергии, то в уравнение (9) можно подставить значение частоты из уравнения (16). Кроме того, для вала с распределенными параметрами, момент инерции может быть вычислен из выражения (17):
Тогда с учетом (17) коэффициент демпфирования для вала с распределенными пара-метрами может быть найден по формуле (18):
Зависимость (18) дает связь между коэффициентом демпфирования упругого вала, коэффициентом затухания и массово геометрическими характеристиками системы для стержня с распределенными параметрами.
Значения коэффициентов затухания d, которые приведены в литературе, получены тоже для систем с распределенными параметрами. Именно поэтому, при использовании этих литературных данных по коэффициентам затухания является возможным использование формулы (18) для определения коэффициентов демпфирования валов.
Как показали экспериментальные исследования [2, 6, 7, 9, 10], величина, d как для сталей, так и для других материалов зависит от действующих напряжений и температуры, и изменяется в широком диапазоне. Для разных сталей при разных действующих напряжениях и температуре образцов величина d колеблется от 0,002 до 0,05.
Поэтому, после предварительного расчета коэффициентов демпфирования по формуле (18), необходимо провести экспериментальную корректировку их значений. Проще всего осуществить это следующим образом.
При проведении моделирования динамических процессов в трансмиссии численным способом вводится безразмерный множитель к предварительно рассчитанным по выражению (18) значениям коэффициентов демпфирования валов. Проводя сравнение тестовых экспериментальных записей поведения системы с результатами моделирования, подбирается значение этого безразмерного коэффициента по критерию наибольшей адекватности.
Такой подход позволяет с достаточно высокой точностью определить значение коэффициентов демпфирования. Это подтверждено сравнением многочисленных результатов математического моделирования динамических процессов различных систем с результатами их экспериментального исследования.
Вывод
Предложенный в статье подход позволяет с достаточно высокой точностью определить значение коэффициентов демпфирования трансмиссионных валов.
Список литературы
1. Бабаков, И.М. Теория колебаний. – М.: Наука, 1965.
2. Филипов, А.П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970.
3. Справочник по динамике сооружений // Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. – М.: Стройиздат, 1972.
4. Пановко, Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука, 1980.
5. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. – М.: Машинострое-ние, 1967.
6. Пановко, Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. – М.: Физмат, 1960.
7. Писаренко, Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. – Киев: АН УССР, 1962.
8. Розо, М. Нелинейные колебания и теория устойчивости / Пер. с фран. – М.: Наука, 1971.
9. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. – М.: Госстройиздат, 1960.
10. Терских, В.П. Метод цепных дробей в применении к исследованию механических систем, в 3 т.– Л., Судпромгиз, 1955. – Т. 1: Простые линейные и нелинейные системы.
Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.
Для цитирования данной работы:
Чупрынин, Ю.В., Котов, А.В. Оценка коэффициентов демпфирования упругих валов для исследования динамических процессов в трансмиссии // Тракторы и сельхозмашины. - 2012. - Т. 79. - №5. - C. 25-27. doi: 10.17816/0321-4443-69376. – EDN PDITNL.
Комментариев нет:
Отправить комментарий