К вопросу анализа уравновешенности плоских рычажных механизмов с помощью теории комплексных чисел

Авторы: Котов А.В., Кроль Д.Г., к.ф.-м.н., доцент

Актуальность. При движении плоских рычажных механизмов сельскохозяйственных машин, различные точки их звеньев движутся с ускорениями, в результате чего возникают силы инерции, которые вызывают дополнительные нагрузки в кинематических парах, существенно влияющие на прочность всех элементов конструкции. Анализ уравновешенности плоских рычажных механизмов еще на этапе их предварительного проектирования позволяет снизить действующую динамическую нагрузку за счет уравновешивания инерционных сил и моментов.

Цель. Анализ уравновешенности плоского рычажного механизма с помощью теории комплексных чисел.

Методы. Представлен алгоритм аналитического метода для анализа уравновешенности плоских рычажных механизмов с использованием теории комплексных чисел. Это позволяет перейти от алгебраических операций над векторами к соответствующим операциям над комплексными числами, сохранив при этом всю информацию присущую векторным величинам о длине и направлении.

Постановка задачи и анализ. Уравновешивание рычажных механизмов является одной из важнейших задач динамического анализа механизмов, которая заключается в полном или частичном устранении переменного воздействия со стороны главного вектора и главного момента сил инерции на опоры механизма во всех его положениях при заданном законе движения ведущего звена.

Известные методы и средства статического уравновешивания достаточно полно изложены в различных работах [1 - 3] из которых на практике наибольшую популярность получил метод замещающих масс [1]. Уравновешивание методом векторов главных точек [2] эффективно для векторных математических моделей рычажных механизмов. Перспективным направлением в уравновешивании получают методы, основанные на оптимизационном поиске параметров противовесов [3].

На рис. 1 приведена кинематическая схема плоского шарнирного четырехзвенного рычажного механизма (получившего наибольшее распространение в машиностроении) и ее векторная интерпретация в комплексной плоскости. Положение каждого вектора задается в соответствующей полярной системе координат, связанной с его началом, и определяется длиной (модулем) и углом наклона, положительное значение которого отсчитывается от горизонтальной оси против хода часовой стрелки [4].

Рис. 1. Кинематическая схема плоского рычажного механизма и алгоритм аналитического метода для анализа его уравновешенности

Теоретически статическое уравновешивание рычажного механизма возможно, если его общий центр масс S (см. рис. 1) будет оставаться неподвижным или двигаться равномерно и прямолинейно при его работе за цикл. Поэтому зная массу mi и координату центра масс Si каждого звена можно предварительно оценить неуравновешенность плоского рычажного механизма уже на этапе выполнения кинематического анализа.

Будем считать, что для рассматриваемого плоского рычажного механизма решена первая задача кинематического анализа с помощью теории комплексных чисел, т.е. решена задача о положениях [5]. Тогда определение векторов линейных и угловых ускорений характерных точек и звеньев удобно представить через соответствующие аналоги. Известно, что аналог ускорения – это вторая производная радиус-вектора точки по обобщенной координате [1]. При этом для вычисления аналогов векторов угловых ускорений звеньев удобно использовать значение аргумента вектора комплексного числа ri, характеризующего угол его наклона вектора к действительной оси комплексной плоскости.

Тогда, если известны массово-инерционные характеристики всех звеньев механизма mi и Ji, имеются рассчитанные для каждого из звеньев векторы линейных ускорений их центра масс ai и угловые ускорения звеньев ei, то можно определить вектора инерционных сил Фi и моментов Mi в зависимости от изменения величины обобщенной координаты. Используя найденные векторы сил и моментов инерции, можно определить главный вектор Ф_S и главный момент M_S сил инерции, по величине и направлению которых можно судить об уравновешенности рассматриваемой механической системы и уровню ее воздействия на несущую конструкцию.

При этом с помощью теории комплексных чисел для нахождения вектора момента силы инерции центра масс каждого звена относительно начала системы координат используется операция умножения с вектором комплексно-сопряженного числа – координатой центра масс S*i. Если представить первое из двух перемножаемых комплексных чисел в виде комплексно-сопряженного числа, то действительная часть полученного произведения с учетом величины алгебраического знака будет представлять значение скалярного произведения этих двух векторов, а мнимая – значение векторного произведения.

Результаты. Описанный выше порядок проведения анализа уравновешенности рассматриваемого рычажного механизма с помощью теории комплексных чисел в функции обобщенной координаты можно представить в виде алгоритма, расположенного в правой части на рис. 1.

Равенство нулю главного вектора сил инерции говорит о статической уравновешенности рычажного механизма, равенство нулю главного момента сил инерции говорит о моментной уравновешенности механизма, а равенство нулю, как главного вектора сил инерции, так и главного момента сил инерции говорит о полной динамической уравновешенности механизма. В зависимости от поставленных целевых показателей, путем подбора параметров противовесов (их массы и плеч установки), достигается полное или частичное уравновешивание системы.

Заключение. Представленный алгоритм анализа уравновешенности плоского рычажного механизма с помощью теории комплексных чисел позволяет определить траекторию движения вектора общего центра масс, а также главный вектор и главный момент сил инерции. Применение теории комплексных чисел в анализе уравновешенности открывает новые возможности исследования в данном направлении, позволяя оперативно оценивать степень уравновешенности различных плоских рычажных механизмов сельскохозяйственных машин.

Список использованных источников:

1. Артоболевский, И.И. Теория механизма и машин: учебник / И.И. Артоболевский. 4-е изд., перераб. и доп. / Репринтное воспроизведение издания 1988 г. – М.: Транспортная компания, 2023. – 640 с.

2. Котов, А.В. Анализ уравновешенности кривошипно-ползунного механизма привода режущего аппарата методом векторов главных точек // Тракторы и сельхозмашины. – 2024. – Т. 91. – №2. – C. 167-180. – DOI: 10.17816/0321-4443-606653.

3. Котов, А.В., Чупрынин, Ю.В. Уравновешивание механизма качающейся шайбы привода режущего аппарата жатки для уборки трав // Тракторы и сельхозмашины. - 2015. - Т. 82. - №10. - C. 23-27. – DOI: 10.17816/0321-4443-66060.

4. Abhary, K. A unified analytical parametric method for kinematic analysis of planar mechanisms. International Journal of Mechanical Engineering Education. – 2022. – Vol. 50(2). – Pp. 389-431. – DOI: 10.1177/0306419020978175.

5. Котов, А.В. Исследование кинематики плоских рычажных механизмов с применением теории комплексных чисел // Студенческий научный движ : материалы научно-технической конференции аспирантов, магистрантов, студентов, Гомель, 25 марта 2025 г. [Электронный ресурс] / под общ. ред. д.т.н., проф. А. Б. Невзоровой. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2025. – 81 с. - С. 18–20.

Надеюсь, представленные на сайте материалы окажутся полезными для Вашей научной или практической деятельности и буду признателен за упоминание моих работ в списке Вашей литературы при их использовании.

Для цитирования данной работы:

Котов, А.В. Кроль, Д.Г. К вопросу анализа уравновешенности плоских рычажных механизмов с помощью теории комплексных чисел // Материалы Международной научно-практической конференции «Развитие машиностроительной отрасли и подготовка высококвалифицированных кадров новой формации» (30–31 мая 2025 г.) HAO Казахский агротехнический исследовательский университет имени Сакена Сейфуллина. – Астана: Издательский дом КАТИУ, 2025. – 282 с. - С-31-33.

Ссылка на оригинальную работу в формате *.pdf